如图,已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P，且AC=PC，∠BOC=2∠BCP。
（1）PC是⊙O的切线，证明略。（2）BC= AB，证明略。（3）MC·MN=BM 2 =8 （本题满分10分）解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠ A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………… ……………………1分∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP …………………………………………3分∵OC是⊙O的半径 ∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………4分 （2）∵PC="AC " ∴∠A=∠P∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分∴BC=OC∴BC= AB ………………………………………………………6分 (3)连接MA,MB ∵点M是弧AB的中点∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分 ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ∵∠BMC=∠BMN∴△MBN∽△MCB ∴ ∴BM 2 =MC·MN ……………………8分∵AB是⊙O的直径 ，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM∵AB="4 " ∴BM= ………………………………………………………9分∴MC·MN=BM 2 ="8 " ……………………………………………………10分
∵AC=PC
∴∠A=∠P
∵∠COB=2∠PCB，∠COB=2∠A，
∴∠PCB=∠A=∠P
∴∠ACO=∠PCB
因为∠ACB=90°所以∠PCO=90°即PC是圆O的切线
（2）因为∠A=∠P，∠ACO=∠PCB，BAC=PC
所以△ACO全等于△PCB
所以BC=CO 因为CO=1/2AB，所以BC=1/2AB
（3）因为BC=1/2AB
所以，∠COB=60°，由于M是弧AB的中点，所以∠MOB=90°
∠M=15°
MN=MO/cos15°
根据余弦定理cm=co+mo-2co*mocos∠moc=2+2-2*2*2cos150°
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．（3分）
（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
∴BC=12AB．（6分）
解：连接MA，MB，
∵点M是AB^的中点，
∴AM^=BM^，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴BMMC=MNBM．
∴BM2=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径，AM^=BM^，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=4，
∴BM=22．
∴MN•MC=BM2=8．（10分）
解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB． 又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
而OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
（2）连接MA，MB，
∵点M是 AB 的中点，
∴ AM = BM ，
∴∠BCM=∠ABM，而∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB，
∴BM MC =MN BM ，
∴△MBN∽△MCB，
又∵AB是⊙O的直径， AM = BM ，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，
∴BM=4 2 ．
∴MN•MC=BM2=32．解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB． 又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
而OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
（2）连接MA，MB，
∵点M是 AB 的中点，
∴ AM = BM ，
∴∠BCM=∠ABM，而∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB，
∴BM MC =MN BM ，
∴△MBN∽△MCB，
又∵AB是⊙O的直径， AM = BM ，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，
∴BM=4 2 ．
∴MN•MC=BM2=32．
如图,已知AB是⊙O的直径,PB为⊙O的切线,B为切点,OP⊥弦BC于点D且交⊙...
答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，∴PB⊥AB，∴∠OPB+∠POB=90°，∵OP⊥BC，∴∠ABC+∠POB=90°，∴∠ABC=∠OPB，又∠AEC=∠ABC，∴∠OPB=∠AEC；（2）四边形AOEC是菱形；∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，∴ ，∵C为半圆 的三等分点，∴ ，∴∠ABC=∠ECB，∴AB∥...
如图,已知AB是圆O的直径,弦CD垂直AB,垂足为点P,AP:PB=1:4,CD=8.求...
答：AB是圆O的直径，弦CD垂直AB,所以CP=DP=CD/2=4，【垂径定理】；设半径为r：AB=2r，AP:AB=1：(1+4)AP=2r/5 PO=AO-AP=r-2r/5=3r/5;连接CO,CO=r,CO²=PO²+CP²r²=(3r/5)²+4²r²-9r²/25=4²16r²/25=4&#...
已知,如图,AB是圆O的直径,C是圆O上一点,OD垂直BC于点D,过点C作圆O的...
答：证明：（1）连接OC，∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂径定理），∴∠OCD=∠OBD，∵∠OCD+∠COE=∠OBD+∠BOE=90°，∴∠COE=∠BOE，在△OCE和△OBE中，∵OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，故可证得BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB...
如图,已知AB是⊙O的直径,点E为⊙O上一点,且AC平分∠BAE交⊙O于C,过C...
答：且OH═CD=4，AE=2AH．∵⊙O的直径AB为10，∴OA=5，∴在直角△AOH中，由勾股定理得到：AH=AO2?OH2=52?42=3，∴AE=2AH=6．∵∠ADC=∠ACB=90°，∠DAC=∠DAB，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC=ACAB，即ADAC=AC10，则AC2=10AD．又由勾股定理得到：AC2=AD2+CD2，∴AD2-10AD+16=0．解得 AD=8...
如图,已知AB为圆O的直径,AB=AC,BC交圆O于点D,AC交圆O于点E,角BAC=45...
答：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②AE=BC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤BD=DC．其中正确结论的序号是 ①④⑤①④⑤ ．解：连接AD，AB是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点...
如图,已知AB为圆O的直径,∠ACB的平分线交圆O于D,若BC=5,BD=4,求AB...
答：解：∵AB为圆O直径 ∴∠ACB＝∠ADB＝90 ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝∠ACB/2＝45 ∵∠ABD、∠ACD所对应圆弧都为劣弧AD ∴∠ABD＝∠ACD＝45 ∴AB＝√2BD＝4√2 ∴AC＝√（AB²-BC²）＝√（32-25）＝√7 数学辅导团解答了你的提问，理解请及时采纳为最佳答案。
如图,已知AB为圆O的直径,CB切圆O于B,CD切圆O于D,交BA的延长线与E点,若...
答：解：因为bc=6，Eb=2 由勾股定理可求：CE=2√10 连接OC 因为S△EBC=1/2*BE*BC=1/2*CE*OD+1/2*BC*OB 所以1/2*2*6=1/2*2√10*OD+1/2*6*OB 6=√10OB+3OB OB=6(√10-3)所以EA=EB-2OB=2-6(√10-3)*2=2-12√10+36=38-12√10 ...
如图AB是圆O的直径,点c在圆O上,过点C作圆O的切线交AB的延长线于点D,己...
答：（1）解：连接OC 因为CD是圆O的切线 所以角OCD=90度 因为角OCD+角D+角COD=180度 所以角COD+角D=90度 因为角D=30度 所以角COD=60度 因为OA=OC 所以角A=角OCA 因为角COD=角A+角OCA 所以角A=30度 所以角A的度数是30度 （2）解：连接BC 因为直径AB垂直CD 所以CE=FE=1/2CF 弧CB=FB...
如图,已知AB为圆O的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P...
答：∵AC=PC ∴∠A=∠P ∵∠COB=2∠PCB，∠COB=2∠A，∴∠PCB=∠A=∠P ∴∠ACO=∠PCB 因为∠ACB=90°所以∠PCO=90°即PC是圆O的切线 （2）因为∠A=∠P，∠ACO=∠PCB，BAC=PC 所以△ACO全等于△PCB 所以BC=CO 因为CO=1/2AB，所以BC=1/2AB （3）因为BC=1/2AB 所以，∠COB=60...
如图,已知ab是圆o的直径,p为圆o外一点,P为圆O外一点,且OP平行BC,角P=...
答：证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠B+∠BAC=90°，∵OP∥BC，∴∠B=∠AOP，∴∠POA+∠BAC=90°，∴∠POA+∠P=90°，∴∠OAP=180°-90°=90°，∴OA⊥AP ∴PA为⊙O的切线．∠PAO=90°．∵OB=5，∴OA=OB=5．又∵OP=25/3 ，∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA=√(PO^2−OA...
