如图，已知AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，B为切点，OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E。 （1）求证
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，∴PB⊥AB．∴∠OPB+∠POB=90°．（1分）∵OP⊥BC，∴∠ABC+∠POB=90°．∴∠ABC=∠OPB．（2分）又∠AEC=∠ABC，∴∠OPB=∠AEC．（3分）（2）解：四边形AOEC是菱形．证法一：∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，∴.CE=.BE．（4分）∵C为半圆.ACB的三等分点，∴.AC=.CE=.BE．∴∠ABC=∠ECB．（5分）∴AB∥CE．（6分）∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC．（7分）又 OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，∴AC∥OE．（8分）∴四边形AOEC是平行四边形．（9分）又 OA=OE，∴四边形AOEC是菱形．（10分）证法二：连接OC．∵C为半圆.ACB的三等分点，∴∠AOC=60°．∴∠ABC=∠AEC=∠OPB=30°．由（1），得∠POB=90°-∠OPB=60°．∴∠ECB=30°．∴∠ABC=∠ECB=30°．∴AB∥CE．∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC．又 OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，∴AC∥OE．∴四边形AOEC是平行四边形．又 OA=OE，∴四边形AOEC是菱形．证法三：连接OC，则OC=OA=OE．∵C为半圆.ACB的三等分点，∴∠AOC=60°．∴△AOC为等边三角形．∴AC=AO．∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，∴.CE=.BE．∵C为半圆.ACB的三等分点，∴.AC=.CE=.BE．∴AC=CE．∴AC=CE=OA=OE．∴四边形AOEC是菱形．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，∴PB⊥AB．∴∠OPB+∠POB=90°．∵OP⊥BC，∴∠ABC+∠POB=90°．∴∠ABC=∠OPB．又∵∠AEC=∠ABC，∴∠OPB=∠AEC．（2）解：四边形AOEC是菱形．∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，∴ = ．∵C为半圆ACB¯的三等分点，∴ = = ．∴∠ABC=∠ECB．∴AB∥CE．∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC．又 OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，∴AC∥OE．∴四边形AOEC是平行四边形．又 OA=OE，∴四边形AOEC是菱形． （1）找中间量∠ABC，利用等角的余角相等证∠ABC=∠OPB，同弧所对的圆周角相等即可（2）利用用一组邻边相等的平行四边形是菱形及两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可。
| 解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线， ∴PB⊥AB， ∴∠OPB+∠POB=90°， ∵OP⊥BC， ∴∠ABC+∠POB=90°， ∴∠ABC=∠OPB， 又∠AEC=∠ABC， ∴∠OPB=∠AEC； （2）四边形AOEC是菱形； ∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E， ∴ ， ∵C为半圆 的三等分点， ∴ ， ∴∠ABC=∠ECB， ∴AB∥CE， ∵AB是⊙O的直径， ∴AC⊥BC， 又OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E， ∴AC∥OE， ∴四边形AOEC是平行四边形， 又OA=OE， ∴四边形AOEC是菱形； |
如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°...
答：（1）60°（2）见解析（3） 试题分析：解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°； （2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（3）连接OC，∵OB=OC，∠ABC=60°，∴△OB...
如图,已知AB是⊙O的直径, , ,那么 的度数是( ) A. B. C. D
答：C 试题分析：在同圆中同弧或等弧所对的圆圆心角相等,因为 , ,所以 ,则 的度数是 .故选C.
如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O切线...
答：（1）BE是⊙O的切线，（2）BF= . 试题分析： 解：（1）连结CO，∵OD⊥BC，∴∠1＝∠2，再由CO＝OB，OE公共，∴△OCE≌△OBE（SAS ）∴∠OCE＝∠OBE，又CE是切线，∠OCE＝90°，∴∠OBE＝90°∴BE与⊙O相切（2） 备用图中，作DH⊥OB于H，H为垂足，∵在Rt△ODB中，OB＝6，...
如图,已知:AB是圆O的直径,BC与圆O相切于点B,圆O的弦AD平行于OC,若OA...
答：分析：连接BD，根据AD∥OC，易证得OC⊥BD，根据垂径定理知：OC垂直平分BD，可得CD=CB，因此只需求出CB的长即可；延长AD，交BC的延长线于E，则OC是△ABC的中位线；设未知数，表示出OC、AD、AE的长，然后在Rt△ABE中，表示出BE的长；最后根据切割线定理即可求出未知数的值，进而可在Rt△CBO中求...
如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠A=30°.(1)若∠ABD=120°,CD⊥...
答：解：（1）证明：连接BC，如图所示．∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=60°，∵∠ABD=120°，∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°，∵BD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠BCD=30°，∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，∴CD⊥OC，则CD为圆O的切线；（2）...
如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠D=60°且AB=6,过O点作OE⊥...
答：（1）∵∠D=60°，∴∠B=60°（圆周角定理），又∵AB=6，∴BC=3，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OE⊥AC，∴OE∥BC，又∵点O是AB中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=12BC=32；（2）连接OC，则易得△COE≌△AFE，故阴影部分的面积=扇形FOC的面积，S扇形FOC=60π×32360=32π．...
已知,如图AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45...
答：解：①∵∠A=45°，AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=45°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠EBC=67.5°-45°=22.5°，此选项正确；②连接AD，∵AB=AC，AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=CD，此选项正确；③∵AB是直径，∴∠AEB=90°，由①知∠EBC=22.5°，∠C=67.5°，∴...
如图,已知AB是⊙O的直径,过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于E,AD⊥EC...
答：解：（1）∵EC是⊙O的切线，∴EC2=EB•AE，∴AE=8，∵AD⊥EC，EC是⊙O的切线，∴∠ECO=∠EDA=90° ∴△ECO∽△EDA，∴OCAD=EOEA，∴AD= 245，在Rt△ADE中，ED2=AE2-AD2= 325，∴CD=ED-EC= 325-4= 125，∵∠BFA=90°（直径所对的圆周角=90度），AD⊥ED，∴BF∥ED，∴...
如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相交于E、F,AC⊥CD,垂足为C.(1...
答：解答：（1）证明：连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∵AC⊥CD，∴∠ACE=90°，∵∠ABF=∠CEA，（圆内接四边形的外角等于它相邻的内对角）∴∠BAF=∠CAE；（2）结论：成立．证明：连接AE，AF，BF∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∵AC⊥CD，∴∠ACE=90°，∵∠AEC=∠ABF，（同弧...
如图,已知AB是⊙O的直径,PB为⊙O的切线,B为切点,OP⊥弦BC于点D且交⊙...
答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，∴PB⊥AB，∴∠OPB+∠POB=90°，∵OP⊥BC，∴∠ABC+∠POB=90°，∴∠ABC=∠OPB，又∠AEC=∠ABC，∴∠OPB=∠AEC；（2）四边形AOEC是菱形；∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，∴ ，∵C为半圆 的三等分点，∴ ，∴∠ABC=∠ECB，∴AB∥...
