如图，已知AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，且AC平分∠BAE交⊙O于C，过C作CD⊥AE，垂足为D．（1）求证：C
解答：（1）证明：连接OC．∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA．∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC．∵CD⊥PA，∴∠ADC=∠OCD=90°，即 CD⊥OC，点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线． （2）解：过O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，∵AB=8，∴由垂径定理得：AM=4，∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，∴四边形DMOC是矩形，∴OC=DM，OM=CD．∵AD：DC=1：3，∴设AD=x，则DC=OM=3x，OA=OC=DM=DA+AM=x+4，∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根据勾股定理得：AO2=42+OM2．∴（x+4）2=42+（3x）2，解得 x1=0（不合题意，舍去），x2=1．则 OA=MD=x+4=5．∴⊙O的半径是5．
（1）证明见解析；（2）图中阴影部分的面积为 ． 试题分析：（1）CD与圆O相切，理由为：由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证；（2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可．试题解析：（1）CD与圆O相切．理由如下：∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，则CD与圆O相切；（2）连接EB，交OC于F， ∵AB为直径，得到∠AEB=90°，∴EB∥CD，∵CD与⊙O相切，C为切点，∴OC⊥CD，∴OC∥AD，∵点O为AB的中点，∴OF为△ABE的中位线，∴OF= AE= ，即CF=DE= ，在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC= ，则S 阴影 =S △ DEC = × × = ．
（1）证明：连OC，BC，如图1，∵AC平分∠BAE，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=3，
∴∠1=∠3，
∴AD∥OC．
又∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD．
又∵OC是圆O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：如图2，连接OD、OC、BC．
由（1）知，OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD．
过点O作OH⊥AD于点H，则四边形DHOC是矩形，且OH═CD=4，AE=2AH．
∵⊙O的直径AB为10，
∴OA=5，
∴在直角△AOH中，由勾股定理得到：AH=
如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°... 如图,已知AB是⊙O的直径, , ,那么 的度数是( ) A. B. C. D 如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O切线... 如图,已知:AB是圆O的直径,BC与圆O相切于点B,圆O的弦AD平行于OC,若OA... 如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠A=30°.(1)若∠ABD=120°,CD⊥... 如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠D=60°且AB=6,过O点作OE⊥... 已知,如图AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45... 如图,已知AB是⊙O的直径,过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于E,AD⊥EC... 如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相交于E、F,AC⊥CD,垂足为C.(1... 如图,已知AB是⊙O的直径,PB为⊙O的切线,B为切点,OP⊥弦BC于点D且交⊙... |
