急求~~~垂径定理两道题
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示)．
如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个，就可得到九个逆命题，并能证明它们都是真命题．教科书把较重要的作为推论l，而其余的作为练习题。总之，一条直线，如果它五个性质中的任何两个成立，那么它也一定具有其余三个性质．
推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧，
推论1的实质是：一条直线(如图)
(1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．
(2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．
(3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧．
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等．
如图中，若AB‖CD，则AC＝BD
注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。
三、例题分析：
例1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E，F，求证：CE=DF。
证明：过O作OM⊥CD于M，
∴CM=DM，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE//OM//FB，
又∵O是AB中点，
∴M是EF中点（平行线等分线段定理），
∴EM=MF，
∴CE=DF。
说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。由于C、D两点是轴对称点，欲证CE=DF，那么E，F也必是轴对称点，由于E，F是垂足，那么E，F也应关于某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。
例2．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。
分析：因为不知道△ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，△ABC不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论：
（1）假若△ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC，
可知， ，∴点A是弧BC中点，
连结AO并延长交BC于D，由垂径推论
可得AD⊥BC，且BD=CD，这样OD=2cm，
再连结OB，在Rt△OBD中OB=6cm，
可求出BD的长，则AD长可求出，
则在Rt△ABD中可求出AB的长。
（2）若△ABC是钝角三角形，如图，
连结AO交BC于D，先证OD⊥BC，
OD平分BC，再连结OB，由OB=6cm，
OD=2cm，求出BD长，然后求出AD的长，
从而在Rt△ADB中求出AB的长。
略解：（1）连结AO并延长交BC于D，连结OB，
∵AB=AC，
∴ ，∴AD⊥BC且BD=CD，
∴OD=2，BO=6，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4，
在Rt△ADB中，AD=OA+OD=8，
由勾股定理可得：AB===4(cm)
（2）同（1）添加辅助线求出BD=4，
在Rt△ADB中，AD=AO-OD=6-2=4，
由勾股定理可得：AB===4(cm)，
∴AB=4cm或4cm。
说明：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。
例3．已知如图：直线AB与⊙O交于C，D，且OA=OB。 求证：AC=BD。
证明：作OE⊥AB于点E，
∴CE=ED，
∵OA=OB，
∴AE=BE，
∴AC=BD。
请想一下，若将此例的图形做如下变化，将如何证明。
变化一，已知：如图，OA=OB， 求证：AC=BD。
变化二：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC=BD。
说明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距，利用垂径定理进行证明，所变化的是A，B两点位置。
例4．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=600，求CD的长。
解：作OF⊥CD于F，连结OD，
∵AE=1，EB=5，
∴AB=6，∴OA==3，
∴OE=OA-AE=3-1=2，
在Rt△OEF中，
∵∠DEB=600，
∴∠EOF=300，∴EF=OE=1，
∴OF==，
在Rt△OFD中，OF=，OD=OA=3，
∴DF===(cm)，
∵OF⊥CD，∴DF=CF，
∴CD=2DF=2(cm)
说明：因为垂径定理涉及垂直关系，所以就可出现与半径相关的直角三角形，求弦长，弦心距，半径问题，常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，用其性质来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题。
参考资料：http://learning.sohu.com/training/sizhong/test/czsx/tbjx.htm
垂径定理内容：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如右图，DC为圆O的直径，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，劣弧AC等于劣弧BC。
望及时采纳！
因为 AB//CD,
所以 MN垂直于CD, MN就是弦AB与弦CD之间的距离，
所以 MN=7，
因为 MN垂直于AB, MN垂直于CD,
所以 AM=AB/2=6/2=3, CN=CD/2,
又因为 圆O的半径OA=5,
所以 在直角三角形OAM中，由勾股定理可得：OM=4，
因为 MN=7,
所以 ON=MN--OM=7--4=3,
所以 在直角三角形OCN中，由勾股定理可得：CN=3,
所以 CD=2CN=6。
A组1。解：因为 OE垂直于AP于点E, OF垂直于PB于点F,
所以 E是AP的中点，F是PB的中点
所以 EF是三角形PAB的中位线，
所以 EF=AB/2=10/2=5。
快!! 垂径定理!!
答：1、∵OA=OB。OC=OD ∴OA-OC=OB-OD 那么AC=BD 2、做OE⊥AB于E 垂径定理：CE=DE，AE=BE ∴AE-CE=BE-DE 那么AC=BD 3、做OE⊥AB于E 垂径定理：AE=BE ∵OC=OD ∴等腰三角形三线合一：CE=DE ∴AE-CE=BE-DE 那么AC=BD 4、做OE⊥AB于E ∵OC=OD，OA=OB ∴等腰三角形三线合一：C...
急求~~~垂径定理两道题
答：又因为 圆O的半径OA=5,所以 在直角三角形OAM中，由勾股定理可得：OM=4，因为 MN=7,所以 ON=MN--OM=7--4=3,所以 在直角三角形OCN中，由勾股定理可得：CN=3,所以 CD=2CN=6。A组1。解：因为 OE垂直于AP于点E, OF垂直于PB于点F,所以 E是AP的中点，F是PB的...
急求~~垂径定理两道
答：回家作业1。证明：连结OM, ON, OP,因为 弧AC=弧BD,所以 弧AB=弧CD,所以 弦AB=弦CD,因为 M, N分别是AB, CD的中点，所以 OM垂直于AB, ON垂直于CD,角OMP=角ONP=90度，所以 OM=ON(同圆中，弦相等，弦的弦心距也相等），因为 OM=ON, OP=OP, 角OMP=角O...
急求~~垂径定理三大题
答：则 OA=OC=圆O的半径=25，因为 C是弧AB的中点，所以 AD=AB/2=24,且OC垂直于AB于D(垂径定理），所以 在直角三角形OAD中，由勾股定理可得：OD=7 所以 CD=OC--OD=25--7=18 所以 在直角三角形ACD中，由勾股定理可得：AC=30。例2。证明：连结OP,因为 OM垂直于AB, ...
初三数学 垂径定理[注意:不是题]
答：垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论...
急啊垂径定理3道,15分!第5题不做
答：3。解：作三角形ABC的高AD, 连结BO,因为 三角形ABC是等腰三角形，底边BC=8厘米，所以 AD是底边BC的垂直平分线，所以 AD过圆心O（垂径定理），BD=BC\2=4厘米，因为 圆O的直径为10厘米，所以 半径OB=OA=5厘米，在直角三角形OBD中，因为 OB=5厘米，BD=4厘米，所以 由...
垂径定理练习题
答：最长弦为直径设为AB=10 最短弦为垂直该直径的弦设为CD=8 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦 则CP=4，OC=半径=5 根据勾股定理OP=√（OC²-CP²）=3
数学垂径定理题:已知如图,三角形abc内接于圆O,BD垂直AO交AC于D,求证...
答：数学垂径定理题:已知如图,三角形abc内接于圆O,BD垂直AO交AC于D,求证:AB·BC=BD·AC 破题思路(利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆周角)... 破题思路(利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆周角) 展开 我来答 1个回答 #热议# 直播| 一起见证OPPO Reno7系列正式亮相!
如何证明圆的垂径定理?
答：一、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。1、证明：在⊙O中，DC为直径，AB是弦，AB⊥DC，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。连OA、OB，∵OA、OB是半径，∴OA=OB。∴△OAB是等腰三角形。2、证明：∵AB⊥DC，∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角...
