如图，在等腰三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M、N在斜边上，且∠MCN=45°，求证：MN2=AM2+BN2
(1)将三角形ACN绕C点逆时针旋转90°成为三角形BCD,连接DM，
三角形BCD全等三角形ACN,三角形CDM全等三角形MCN,
BD=AN,DM=MN,角ABD+角CBM=90°
BD^2+BM^2=DM^2
即MN²=AN²+BM²
（2）和（1)完全一样
将三角形ACN绕C点逆时针旋转90°成为三角形BCD,连接DM，
三角形BCD全等三角形ACN,三角形CDM全等三角形MCN,
BD=AN,DM=MN,角ABD+角CBM=90°
BD^2+BM^2=DM^2
即MN²=AN²+BM²
1)证明:作∠BCD=∠ACM,并且CD=CM,则:∠BCD+∠BCM=∠ACM+∠BCM=90°.
又AC=CB,则: ΔBCD≌ΔACM(SAS),
∴BD=AM;∠CBD=∠A=45°.
∠MCN=45°,∠MCD=90°,则:∠DCN=∠MCN=45°;
又CN=CN. 则⊿MCN≌ΔDCN, DN=MN;
∵∠NDB=∠CBD+∠ABC=90°.
∴DN2=DB2+BN2,即:MN2=AM2+BN2.
(2)当点M在BA延长线上时,(1)中的结论还成立.
证明:作∠BCD=∠ACM,使CD=CM,则:∠ACD+∠ACM=∠BCD+∠ACD=90°.
又AC=CB,则: ΔBCD≌ΔACM(SAS) ∴BD=AM;
∠CBD=∠CAM=135°,∠CBA=45°，∴∠DBN=90°;
∵∠MCN=45°,∠MCD=90°,则:∠DCN=∠MCN=45°; CN=CN；
则ΔMCN≌ΔDCN, ∴DN=MN;
∵∠DBN=90°.
∴DN2=DB2+BN2, 即: MN2=AM2+BN2
∴∠A=∠ABC=45°，
把△AMC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC，
由旋转的性质得，AM=BD，CM=CD，∠BCD=∠ACM，∠CBD=∠A=45°，
∵∠MCN=45°，
∴∠DCN=∠BCD+∠BCN=∠ACM+∠BCN=90°-45°=45°，
∴∠DCN=∠MCN，
在△CMN和△DCN中，
请教高手:如图,在等腰三角形Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB上的中点 已知:如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=3, 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上.CD=2... 如图,在等腰三角形abc中ab等于ac,一腰上的中线bd将这个等腰三角形的周... 如图:已知在等腰Rt△ABC中,∠CAB=90°,以AB为边向外做等边△ABD,AE⊥... 如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D、E分别... 如图所示,在等腰Rt△ABC中,P是斜边BC的中点,以P为顶点的直角的两边分... 如图,在等腰RT△ABC中,<ACB=90度,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B... 如图,在等腰rt△abc中,角abc=90度,ab=bc,d为斜边ac延长线上一点,过d... 如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90度,点D是BC上的任意一点,DF⊥AB,DE⊥... |
