f(f(x))=x,求证f(x)=x
看到减号,知道要移项
f(x)=f(xy)-f(y) 将x用x/y 即可得f(x/y)=f(x)-f(y)
假设不存在x0使得 f(x0)=x0
那么就有对任意的x 有f(x)>x或 f(x)<x成立
第一种:
f(x)>x时
那么f(f(x))>f(x)>x (在f(x)>x两边同时写上f 就是f(f(x))>f(x)
和f(f(x))=x矛盾
第二种
跟上面是一样的`
把不等号方向倒过来就是了
综上存在x0使得 f(x0)=x0
令f（x）＝t，x＝f-1（t）[x是t的反函数]，原式变为f（t）＝f-1（t），如果该方程有解，函数与它反函数关于y＝t对称，所以交点必在y＝t上，所以必定有f（t）＝t，即f（x）＝x。
函数f（x）是乘积形式、商的形式、根式、幂的形式、指数形式或幂指函数形式的情况，求导时比较适用对数求导法，这是因为：取对数可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，取对数的运算可将根式、幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘除运算。
不是所有的函数都可以求导；可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导（如y＝｜x｜在y＝0处不可导）。
这本来就是一个假命题，证明不了，反例：f(x)=1/x，这个函数上全是原问题的解，但是只有（1,1），（-1，-1）满足f(x)=x
实际上对于一个解x0，其充要条件就是(f(x),x)也在函数图像上，“证出来”的人的话之中的“如果该方程有解，函数与它反函数关于y＝t对称，所以交点必在y＝t上”是有问题的，关于y=x自己和自己对称才是在y=x上，而这是和原函数上的另一个点对称，但如果加一个限制条件，改为f(f(x))=x有唯一解那么f(x)=x就是对的了（只需说明如果x不等于f(x)那么有x,f(x)两个解）
令f（x）＝t，x＝f-1（t）[x是t的反函数]，原式变为f（t）＝f-1（t），
如果该方程有解，函数与它反函数关于y＝t对称，所以交点必在y＝t上，所以必定有f（t）＝t，即f（x）＝x。
看图
。。。
f(x)=-x时，f(f(x))=-(-x))=x
因此，该式子不成立，无法证明
评论区里其他人估计都在伪证
已知f'(x)=f(x),f'(0)=1.求证f(x)=e^x
答：令F(x)=[e^(-x)]*f(x);因为f'(x)=f(x);则F'(x)=[e^(-x)]*[f'(x)-f(x)]=0;根据拉格朗日中值定理的推论,则F(x)=[e^(-x)]*f(x)=C;所以f(x)=Ce^x;由于f'(0)=1，所以c=1,即f(x)=e^x
已知f(x)=f(2x) ,求证f(x)是常函数
答：此题需要加条件f(x)在x=0连续，否则结论不成立，举反例如下f（x）在有理点取值为1，无理点取值为0.有上述条件下证明很简单。由条件可得对任意的x ，f(x)=f(x/2^n),其中n为正整数，令n趋于无穷，由f(x)在0连续知，右边极限为f(0),所以任意的x有f(x)=f(0),所以为常函数。
数学分析:一题有关不定积分证明题,已知F(x)是f(x)的原函数,求证:xf(x...
答：以简证(1)给出方法如下。g(x)=xf(x)=xF ' (x)，g(x)的原函数∫g(x)dx=∫xF ' (x)dx=∫xdF(x)=xF(x)-∫F(x)dx=xF(x)-G(x)+C，其中，因为F(x)可导，所以F(x)连续，所以F(x)有原函数存在，设为G(x)，综上可得，xF(x)-G(x)就是xf(x)的一个原函数。
求证:若f(x)满足f(a+x)=f(a-x)则函数关于x=a对称
答：从几何意义上理解,对于直线x=a 在其左边x0出的函数值为f(a-x0)在其右边x0出的函数值为f(a+x0)又∵f(x)满足f(a+x)=f(a-x)对任意x满足 ∴f(x)关于x=a对称 也可以用纯代数的证明 当x=x0时 y=f(x0)所以点(x0,f(x0))在y=f(x)上 (x0,f(x0))关于x=a的对称点是(2a...
y=x 和f(x)=x是一个意思吗? 如果是一个意思,为什么在高中数学中要引入f...
答：是一个意思。f(x)这是一种你以后会经常遇到的函数的表达方式。其表示自变量为x，按照法则f进行变化的函数。也就是说，如果自变量换成了t，那么关于t的函数就可以写为f(t)。如果变化法则改为g，自变量仍为x，那么该函数就是g(x)。这种函数的表达方式是你以后要熟练认识和掌握的。所以在高中开始尽...
已知:对于任意实数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)在R上单调递增。
答：已知函数y=f(x) (x不等于0) 满足对任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)1、求证 f(1)＝f(-1)=0 2、求证 y=f(x) 是偶函数 3、若 y=f(x)在（0，正无穷）上是增函数，解不等式 f(x)+f(x-1/2)<0 1).令x=y=1得，f(1)=f(1)+f(1) ,所以f(1)=0 令x=y=-...
若f(x)可导,f(x)=f'(x)且f(0)=1,求证:f(x)=e的X次方
答：设y=f(x)f(x)=f'(x)即y=dy/dx dx=dy/y→lny=x+C y=e^(x+C)=f(x)f(0)=e^C=1所以C=0 f(x)=e^x
设f(x)是零到正无穷上的连续函数,且f(x)=f(x^2),x属于零到正无穷,证...
答：证明：设 x = y^2,f(y)=f(y^2), ===> f(x)= f(x^(1/2))任给x 大于0， 不等于1, f（x) = f(x^(1/2))= f(x^(1/4))=...=f(x^(1/2^n))=...因为 x, x^(1/2), ..., x^(1/2^n), ... ---> 1 根据连续性， 于是 f（1）=lim f(x^(...
f在R上连续,对一切R上的x,y。有f(x+y)=f(x)+f(y) 证明 f(x)=f(1...
答：f(n/m)=n×f(1/m)=nf(1)/m ① f(x+y)=f(x)+f(y)中令y=-x可知f(x)为奇函数, 所以对任意负有理数-r=-n/m, 有 f(-n/m)=-f(n/m)=-nf(1)/m ② 所以由① ②可知对任意有理数r都有 f(r)=f(1)r 当x为无理数时, 可取有理数列rn使得lim{n->∞}rn=x, ...
f在闭区间上单调,存在f(x)=x
答：g'(x)=f'(x)*x-f(x) /x^2 x^2>0,要证g(x)是单调递增,即证f'(x)*x-f(x)>0 因为f'(x)在闭区间0到正无穷上存在且单调递增,所以f'(x)>f'(0)f'(x)*x-f(x)>f'(0)*0-f(0)=-f(0)=0 所以g(x)单调递增
