已知，如图，四边形ABCD的四个顶点都在圆O上，求证AC*BD=AB*CD+AD*BC
你说的那个方法中“ABCD为等腰梯形”的推导步骤是不成立的。
如图，做OG⊥DC于点G，
由于，圆心到弦的垂线平分该弦，并平分该弦对应的圆心角；同弧的圆心角是圆周角的两倍：
OF⊥弦AB，所以∠1=½∠AOB=∠1'
OG⊥弦CD，所以∠2=½∠COD=∠2'
又AC⊥BD，则∠1'和∠2'互余，又∠1和∠2''互余，所以∠2=∠2'‘，
所以RT△OBF≌RT△COG，则OF=CG=CD/2，即2OF=CD
证明:延长BO交圆O于M,连接AM,DM.
BM为直径,则∠BDM=90º,DM⊥BD;又AC⊥BD.
∴AC∥DM,则弧AD=弧CM.
故弧ADM=弧CMD,得AM=CD.
∵OF⊥AB.
∴BF=FA;又BO=OM.
∴2OF=AM=CD.(三角形中位线的性质).
在AC上取一点E，使∠AED=∠BCD
∵A,B,C,D四点共圆
∴∠DAC=∠DBC
∴⊿DAE∽⊿DBC（AA‘）
∴AD/BD=AE/BC
∴AD×BC=BD×AE..............................①
∵∠DEC=180º-∠AED
∠DAB=180º-∠DBC
∴∠DEC=∠DAB
又∵∠ACD=∠ABD
∴⊿DEC∽⊿DAB（AA’）
∴CD/BD=CE/AB
∴AB×CD=BD×CE........................②
①+②得
AB×CD+AD×BC=BD×（AE+CE）=BD×AC
∴AC×BD=AB×CD+AD×BC
先画一个圆，内接四边形ABCD
连接AC,BD
证明
在BD 上找一点M
作∠BAM=∠CAD
因为 ∠ABD=∠ACD
所以 三角形ABM 相似于 三角形ACD
AB/BM=AC/CD 变形
AB*CD=AC*BM
而且 ∠MAD=∠BAC 又因为 ∠ADM=∠ACB
所以 三角形ADM 相似于 三角形ACB
AD/DM=AC/CB 变形
AD*BC=AC*DM
所以 AD*BC+AB*CD=(DM+BM)*AC=AC*BD
则是托勒密定理，证四点共圆要用的
证明：连接CO并延长交⊙O于P，连接BP，
∵OE⊥BC，∠PBC=90°，BE=EC，PO=OC，
∴OE=1 2 BP，
又∵∠1=∠2，∠PBD=90°-∠1，∠ADB=90°-∠2，
∴∠PBD=∠ADB，
∴ 弧PD =弧 AB ，
∴ 弧PB = 弧AD ，
故BP=AD，
即OE=1/ 2 BP=1/2 AD．
如图,已知四边形ABCD的两组对边AD、BC与AB、DC延长线分别交于E、F,又...
答：解：连接EF，∵∠ECF=180°-∠1-∠2，∠A=180°-∠AEF-∠AFE=180°-∠1-∠2-∠AEB-∠AFD又∵∠E、∠F的平分线交于点P，∴∠AEB=2∠3，∠AFD=2∠4，∴∠ECF+∠A=（180°-∠1-∠2）+（180°-∠1-∠2-2∠3-2∠4）=360°-2∠1-2∠2-2∠3-2∠4，∴12（∠ECF+∠A）=...
如图,已知四边形ABCD的对角线AC、BD分别平分∠BCD、∠ABC,O为AC与BD...
答：证：在BC上截BE=AB ,连结OE ∵ BC=AB+CD ∴ CE=CD ∵AC、BD分别平分∠BCD、∠ABC ∴ △ABO≌ △EBO， △DCO≌ △ECO（SAS）∴∠AOB=∠BOE, ∠DOC=∠COE,又∠AOB=∠DOC,所以∠AOB=∠BOE=∠DOC=∠COE 所以∠BOE=∠COE=∠COD，又∠BOD=180，所以∠BOC=120 ...
如图,已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD=14,BC=6,三个角的度数:角B...
答：延长AB和CD交于点E，如图，由于角C=135°，故角BCE=45°，角CBE为直角，所以BE=BC=6，又因为角A为45°，所以DE=AD=14，这个四边形的面积就可以用三角形ADE的面积减去三角形BCE的面积表示，三角形ADE面积=1/2*AD*DE=1/2*14*14=98,三角形BCE面积=1/2*BC*BE=1/2*6*6=18，最终得出这...
如图, 已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形AB...
答：四边形ABCD的面积是 36.解：连接 AC 由勾股定理得：AC = 5 因为 AC^2 + CD^2 = 5^2+12^2 = 13^2=AD^2 所以三角形ACD为直角三角形 所以S（四边形ABCD) = S (三角形 ABC ) + S(三角形 ACD ）=3*4 * (1/2) + 5*12 * (1 /2)=6 + 30 = 36 ...
25(本题满分12分)已知如图,四边形ABCD,BE、DF分别平分四边形的外角∠...
答：∴∠GBC+∠GDC=1/2(α+β)，又β=∠GBC+∠GDC+∠BGC=1/2(α+β)+45°，∴2β=α+β+90°，β-α=90°，⑶BE∥DF，理由：∵BE、DF分别平分∠MBC、∠NDC，∴∠CBE+∠CDF=1/2(α+β)=α，过C在四边形ABCD内部作CH∥BE，因为∠BCD=α，∴∠DCH=∠CDF，∴CH∥DF，∴BE∥DF。
如图,已知四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°.求证:AC平分∠...
答：AB=AD ∴△ABD是等边三角形 ∴BD=AD，∠ADB=60° ∵∠BCD=120° ∴∠DCE=60° ∵CD=CE ∴△CDE是等边三角形 ∴CD=DE，∠CDE=60° ∴∠CDE+∠BCD=∠ADB+∠BCD ∴∠BDE=∠ADC ∵AD=BD，CD=DE ∴△ACD≌△BED所以∠ACD=∠DEB=60°所以∠ACB=∠BCD-∠ACD=60°即AC平分∠BCD ...
如图,已知四边形abcd的两条对角线互相垂直于o,oe、of、og、oh分别是点...
答：证明：在平行四边形ABCD中，OD=OB，OA=OC，AD∥CB，（1分）∴∠OBG=∠ODE．（2分）又∵∠BOG=∠DOE，∴△OBG≌△ODE．（4分）∴OE=OG．（5分）同理OF=OH．（6分）∴四边形EFGH是平行四边形．（7分）又∵EG⊥FH，∴平行四边形EFGH是菱形．（8分）
如图,已知平行四边形ABCD的周长是30厘米,AD边上的高是4厘米,CD边上的...
答：解：设AB=x，则CD=15-x 根据平行四边形的面积公式可得 6x=4(15-x)6x=60-4x 10x=60 x=6 所以平行四边形ABCD的面积为6*6=36平方厘米
如图已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A(1,3)B(m,0)c(m+2,0)D(5,1...
答：参考：四边形四个顶点的坐标为A(1,3),B(m,0),C(m+2,0),D(5,1),四边形周长最小时,求m的值 答：ABCD中：BC=m+2-m=2 AD=√[(5-1)^2+(1-3)^2]=2√5 所以：AB和CD是变量 AB+CD=√[(m-1)^2+(0-3)^2]+√[(m+2-5)^2+(0-1)^2]=√[(m-1)^2+(0-3)^2]...
已知:如图,四边形ABCD中,角B=角D=90°,角C=45°,AD=3CM,BC=7CM则四边...
答：延长BA,CD交于点E，则∠E=∠C=45·，则BE=BC=7,AD=DE=3,则四边形ABCD的面积为：三角形BEC的面积减去三角形ADE的面积，即7×7×（1/2)-3*3*(1/2)=20CM^2
