棱长为36的正四面体ABCD内切球上有一个动点M,则MB+1/3MC的最小值为多少
作AE⊥平面BCD于E,在EA上截取EO=EA/4,则O是正四面体A–BCD的内接球的球心。
BC=36,BE=BC/√3=12√3，
AE=√(AB^2-BE^2)=12√6，OE=3√6，
以EB,垂直于EB的直线、EA为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则
B(12√3,0,0），C(-6√3,18,0），O(0,0,3√6),球半径r=3√6，
设M(rcosusinv,rcosucosv,r+rsinu)(-π/2<=u<=π/2,0<=v<2π),则
MB+MC/3=√[(4r-rcosusinv)^2+(rcosucosv)^2+(r+rsinu)^2}
+(1/3)√[(2r+rcosusinv)^2+(√6r-rcosucosv)^2+(r+rsinu)^2]
=r{√[16-8cosusinv+cos^usin^v+cos^ucos^v+1+2sinu+sin^u]
+(1/3)√[4+4cosusinv+cos^usin^v+6-2√6cosucosv+cos^ucos^v+1+2sinu+sin^u]}
=r[√(18-8cosusinv+2sinu)+(1/3)√(12+4cosusinv-2√6cosucosv+2sinu)]，繁！
若动点M不在大圆上，作MN⊥平面BCO于N,作NP⊥BC于P,交大圆于M3,则N在大圆内，所以NP>M3P,于是BM>BN>BM3,同理，CM>CN>CM3.所以使MB+MC/3最小的点M在大圆上。BM1是BM的最小值，如果要求的精度不高，可用BM1+CM1/3作为最小值。否则，需进行繁杂的计算。
DE=a/√3，AE=√6a/3,大圆半径r=OE=√6a/12,EF=DE/2,OF=√(OE^2+EF^2)=√2a/4.
在平面BCO中分别以FC,FO为x,y轴建立直角坐标系，则B(-a/2,0),C(a/2,0),
大圆O:x^2+(y-√2a/4)^2=a^2/24,即x^2=ay/√2-y^2-a^2/12,①
目标函数w=MB+MC/3=√[(x+a/2)^2+y^2]+(1/3)√[(x-a/2)^2+y^2]
=√(ay/√2+a^2/6+ax)+(1/3)√(ay/√2+a^2/6-ax)(由①),
下面用导数求最值。
对①微分得2xdx=(a/√2-2y)dy,dy=2xdx/(a/√2-2y),②
dw=(ady/√2+adx)/[2√(ay/√2+a^2/6+ax)]+(ady/√2-adx)/[6√(ay/√2+a^2/6-ax)]，
把②代入上式，令dw/dx=0,约去a,去分母得
3[√2x-(2y-a/√2)]√(ay/√2+a^2/6-ax)=[√2x+2y-a/√2]√(ay/√2+a^2/6+ax),③
[√2x土(2y-a/√2)]^2=2x^2土2x(2√2y-a)+4y^2-2√2ay+a^2/2
=2(ay/√2-y^2-a^2/1)土2x(2√2y-a)+4y^2-2√2ay+a^2/2
=2y^2-√2ay+a^2/3土2x(2√2y-a),
∴③平方,约去a,得(y/√2+a/6)[16y^2-8√2ay+8a^2/3-20x(2√2y-a)]
-x[20y^2-10√2ay+10a^2/3+16x(2√2y-a)]=0,
把①代入上式，得40√2y^3-(160/3)ay^2+(32√2/3)a^2y-(8/9)a^3
=[60y^2+(20√2/3）ay]x,
∴x=[40√2y^3-(160/3)ay^2+(32√2/3)a^2y-(8/9)a^3]/[60y^2+(20√2/3）ay],④
把a=36,及④代入①，去分母得y的6次方程。可以综合除法解。留给有兴趣的人完成。
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最小值为12+6根号6
正四面体ABCD(六条棱长都相等)的棱长为1,棱AB ∥ 平面α,则正四面体...
答：由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段AB对称的两个等腰三角形，由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为 1 2 ×1×1= 1 2 当正四面体的与AB平行的棱与投影面垂直时，此时投影面面积最小，此时投影面是一个三角形，其底面边长为线段AB的投影，...
求解一题数学,第84题两问!
答：∵正四面体ABCD的棱长为a，∴正方体的棱长为a，正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，所以正方体的对角线为2R，∵正方体的棱长为a，所以×a=2R，∴R=a．正四面体ABCD外接球与内切球的两球球心重合，设为O．设DO的延长线与底...
棱长都相等的三棱锥叫做正四面体,在正四面体ABCD中E,F分别是棱BC和AD...
答：棱长都相等的三棱锥叫做正四面体,在正四面体ABCD中E,F分别是棱BC和AD之中点，则EF和AB所成角的大小为（45°）将此在四面体补全成为一个正方体，可以发现EF是正方体两个相对面中心的连线，AB是正方体侧面的对角线。
正四面体ABCD的各棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则向量AE*向量AF的值...
答：|AE |= a*根号(1+1/4) = a*(根号5)/2.|AF| = a/2.它们的夹角FAE的余弦为:cos角FAE=|AF|/|AE| = 2/根号5.故,按定义有:向量AE*向量AF = |AE|*|AF|*cos角FAE= (a^2)/4
正四面体侧棱与底面所成角正弦值
答：正四面体， 侧棱和底面所成的角就是侧棱与底面正三角形的外接圆半径（三线合一）所成的角 设棱长为a 外接圆半径R=√3a/3,正四面体的高h=√6a/3 正弦值=h/a=√6/3
正四面体ABCD(六条棱长都相等)的棱长为1,棱AB∥平面,则正四面体上的所有...
答：B 试题分析：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面 ，由题意当线段AB相对的侧棱CD与投影面平行时投影面积最大，此时投影是一个对角线长等于正四面体棱长1的正方形，如下图所示：故投影面积为 , 当面CD⊥平面 时，面积取最小值，如下图所示：此时构成的三角形底边是1，高是正四面...
在棱长为1的正四面体ABCD中EF分别是BC丶AD的中点则向量AE点乘向量CF的...
答：解：取AB，AC，AD向量为基底，则任何两个基底向量之间的数量积都等于cos60°=1/2，而AE向量等于：AB向量与AC向量的和的一半，CF向量等于：AF向量减去AC向量，等于AD向量的一半 减去AC向量于是AE向量与CF向量的数量积=0.5（AB向量+AC向量）·（0.5AD向量 - AC向量）=0.5（-AC向量的平方）=-...
正四面体的四个顶点在半径为R球面上,则正四面体的棱长为 236R236R
答：解答：解：画出球的内接正四面体的图形如图，球心O在高线DE上，OA=OD=OB=OC=R，设正四面体的棱长为a，则AE=3a3，DE=63a，在直角三角形AOE中，AO2=OE2+AE2，且AO+OE=63a解得a=236AO=236R故答案为：236R．
四面体的样子。图片
答：四面体的每一个面都是三角形,一共有四个面,四个顶点,六条棱,见图。 正四面体表示的是一种特殊的四面体,它的每一个面都是正三角形(等边三角形)。 实体的话,你想象一下金字塔应该就知道了。 向左转|向右转 本回答由网友推荐 举报| 答案纠错 | 评论 36 6 cwcg163 采纳率:46% 擅长: 暂未定制 为...
