已知数列{an}满足a1,a2减a1,a3减a2,…，an减an减1是首项为1，公比为3分之1的等比数列。1.求an的通项公式，
1.
由已知得：an-a(n-1)=(1/3)^(n-1)
利用累加法可得：an=a1+(a2-a1)+……+( an-a(n-1))
=1+1/3+(1/3)² +……+(1/3)^(n-1)
=[1-(1/3)^n]/(1-1/3)=3/2[1-(1/3)^n]
2.
bn=(2n-1) •3/2[1-(1/3)^n] =3(2n-1)/2-3(2n-1)/2•(1/3)^n.
分两部分求和：
第一部分：
{3(2n-1)/2}的前n项和是等差数列求和：n(3/2+3(2n-1)/2)/2=3n²/2.
第二部分：
{3/2• (2n-1)•(1/3)^n }，设其前n项和为Tn,使用错位相减法求和。
Tn=3/2[1•1/3+3•(1/3)^2+5•(1/3)^3+……+(2n-1)•(1/3)^n]
1/3•Tn= 3/2[1•(1/3)^2+3•(1/3)^3+5•(1/3)^4+……+(2n-3)•(1/3)^n+(2n-1)•(1/3)^(n+1)]
两式相减得：
2/3•Tn=3/2[1/3+2•(1/3)^2+2•(1/3)^3+……+2•(1/3)^n-(2n-1)•(1/3)^(n+1) ]
2/3•Tn=3/2[1/3+2•(1/3)^2•[1-(1/3)^(n-1)/(1-1/3) -(2n-1)•(1/3)^(n+1) ]
2/3•Tn=3/2[1/3+1/3-(1/3)^n -(2n-1)•(1/3)^(n+1) ]
Tn=9/4[2/3-(1/3)^n -(2n-1)•(1/3)^(n+1) ]
∴Sn=3n²/2- Tn=3n²/2-9/4[2/3-(1/3)^n -(2n-1)•(1/3)^(n+1) ].
a1=1
a2-a1=1/3
a3-a2=(1/3)^2
a4-a3=(1/3)^3
...........................
a(n)-a(n-1)=(1/3)^(n-1)
上面全部加起来得a(n)=1+1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+..........+(1/3)^(n-1)
=[1-(1/3)^n]/[1-(1/3)]=(3/2)[1-(1/3)^n]
b(n)=(2n-1)(3/2)[1-(1/3)^n]
Sn=(3/2)∑(2k-1)[1-(1/3)^k]=(3/2)∑(2k-1)-(3/2)∑(2k-1)(1/3)^k
∑(2k-1)=[1+(2n-1)]n/2=n^2 等差数列求和公式
Tn=∑(2k-1)(1/3)^k=1/3+3/3^2+5/3^3+......+(2n-3)/3^(n-1)+(2n-1)/3^n
3Tn=1+3/3+5/3^2+......+(2n-3)/3^(n-2)+(2n-1)/3^(n-1)
上两式相减 按分母相同3的几次方合并得
2Tn=1+2/3+2/3^2+.....................+2/3^(n-1)-(2n-1)/3^n
=1+（2/3）[1-(1/3)^n]/[1-(1/3)]-(2n-1)/3^n
=1+1-(1/3)^n-(2n-1)/3^n=2-(2n-2)/3^n
Tn=1-(n-1)/3^n
所以Sn=(3/2)n^2-(3/2)[1-(n-1)/3^n]=(3/2)[n^2-1+(n-1)/3^n]
a(n-1)-a(n-2)=(1/3)^(n-2)
……
a3-a2=（1/3）^2
a2-a1=1/3 将这n-1个式子相加
an-a1=1/3+(1/3)^2+……+(1/3)^(n-1)=[1/3*(1-(1/3)^(n-1))]/(1-1/3)=2[1-(1/3)^(n-1)]
an=2[1-(1/3)^(n-1)]+1=3-2*(1/3)^(n-1)
bn=(2n-1)*[3-2*(1/3)^(n-1)]
=6n-3-[(4n-2)*(1/3)^(n-1)] 6n-3……等差数列 [(4n-2)*(1/3)^(n-1)]……差比数列
Sn=3n^2-[15-(2n-35)*(1/3)^n]
1.an-a(n-1)=3^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)
…………
a3-a2=3^(3-1)=3^2
a2-a1=3^(2-1)=3
a1=1
an=3^(n-1)+3^(n-2)+……+3^2+3+1
=1/2(3^n-1)
2.bn=(2n-1)an=(n-1/2)(3^n-1)
Sn=1/2{(3-1)+3(3^2-1)+……+(2n-1)(3^n-1)}
=1/2{[1+3*3^2+……+(2n-1)3^n-[1+3+……+(2n-1)]}
set:S1n= 1*3+3*3^2+……+(2n-1)3^n,
S2n= 1+3+……+(2n-1)
3S1n= 1*3^2+3*3^3+……+(2n-3)3^n+(2n-1)3^(n+1)
3S1n-S1n=-1*3-2*3^2-2*3^3-……-2*3^n+(2n-1)3^(n+1)
=(2n-1)3^(n+1)-3-2[3^2+3^3+……+3^n]
=(2n-1)3^(n+1)-3+3-3^n
=(2n-1)3^(n+1)-3^n
==>S1n=1/2{(2n-1)3^(n+1)-3^n} =1/2(2n-4/3)3^(n+1)
S2n=n^2+2n
==>Sn=(n/2-1/3)3^(n+1)-1/2n^2-n
1.a1=1,
a2-a1=1/3,
……
an-a<n-1>=1/3^(n-1),
累加得an=1+1/3+……+1/3^(n-1)=(1-1/3^n)/(1-1/3)=(3/2)(1-1/3^n).
2.bn=(2n-1)an=(3/2)[(2n-1)-(2n-1)/3^n],
设Tn=1/3+3/3^2+5/3^3+……+（2n-1)/3^n,则
Tn/3=........1/3^2+3/3^3+.......+(2n-3)/3^n+(2n-1)/3^(n+1),
相减得（2/3)Tn=1/3+2(1/3^2+1/3^3+……+1/3^n)-(2n-1)/3^(n+1)
=1/3+2[1/9-1/3^(n+1)]/(1-1/3)-(2n-1)/3^(n+1)
=2/3-(2/3)(n+1)/3^n,
∴Tn=1-(n+1)/3^n,
∴Sn=(3/2)[n^2-1+(n+1)/3^n].
如图所示
已知数列{an}满足a1,a2减a1,a3减a2,…,an减an减1是首项为1,公比为3分...
答：a(n-1)-a(n-2)=(1/3)^(n-2)……a3-a2=（1/3）^2 a2-a1=1/3 将这n-1个式子相加 an-a1=1/3+(1/3)^2+……+(1/3)^(n-1)=[1/3*(1-(1/3)^(n-1))]/(1-1/3)=2[1-(1/3)^(n-1)]an=2[1-(1/3)^(n-1)]+1=3-2*(1/3)^(n-1)bn=(2n-1)...
已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…(n-1)an-1(n>=2)则{an}的通...
答：则a（n+1）=a1+2a2+3a3+…(n-1)an-1+nan ...② 两式相减②-① 得a（n+1）-an=nan (n>=3)即a（n+1）=（n+1）an 即 a4=3a3 a5=4a4 ...a（n-1）=（n-1）a（n-2)an=na（n-1）上述各式相乘得 an=n（n-1）（n-2）*...*4*3 =n（n-1）（n-2）*...*4*...
已知数列an满足a1=1 , a n+1=2an+3 【注;意思是a的第n+1项等于二倍的...
答：解：（1）a n+1=2an+3 an+1 +3=2（an+3）由于首项a1+3=1+3=4≠0，所以数列{an+3}是等比数列；（2）等比数列公式an+3=(a1+3)2^(n-1)=2^(n+1)an=2^(n+1)-3。O(∩_∩)O~
已知数列{an}满足a1=31,an+1-an=-2 (1)求通项公式an (2)求数列{an的...
答：∵a(n+1)-an=-2 ∴{an}是以31为首项,公差为-2的等差数列 ∴an=a1-2(n-1)=-2n+33 (n>=1)a16=1,a17=-1 ∴当n<17时 Tn=n(a1+an)/2=n(-2n+33+31)/2=-n^2+32n (n<17)T16=-16*16+32*16=256 当n>=17时 |an|=2n-33 ∴Tn=(2n-33+1)(n-16)/2+256...
已知数列{an}满足a1=1 ,an+1=3an+2的n+1次幂,求an
答：n+1)+k*2^(n+1)=3[a(n)+k*2^n]则 a(n+1)=3an+3k*2^n-2k*2^n=3an+k*2^n 所以 k=2 即 a(n+1)+2*2^(n+1)=3[a(n)+2*2^n]所以 {an+2*2^n}是等比数列 首项为a1+2*2^1=5,公比为3 所以 an+2*2^n=5*3^(n-1)an=5*3^(n-1)-2^(n+1)
已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+3,求{an}的通项公式。
答：解：因为a(n+1)=2an+3故：a(n+1)+3=2（an+3）故；[a(n+1)+3]/ （an+3）=2故：(a2+3)/(a1+3)=2(a3+3)/(a2+3)=2(a4+3)/(a3+3)=2……（an+3）/[a(n-1)+3]=2左右两边相乘：（an+3）/(a1+3)=2^(n-1)因为a1=3故：an+3=3×2^n故：an=3×2^n-3 ...
已知数列{An}满足A1=a
答：An＋1＝A1·An ∴(An＋1)/An＝A1＝a.所以｛An｝是一个以a为首项，以a为公比的等比数列！∴An＝a·a∧(n-1)＝a∧n.⑵∵An＝a∧n.∴Bn＝a∧n·lna∧n＝n(a∧n)·lna.∴Bn＋1－Bn ＝（n＋1）a∧(n＋1)·lna－n·a∧n·lna ＝［(n＋1)a∧(n＋1)－n·a∧n］·lna....
已知数列an满足a1=1,a2=3 ,an+2 +an=2an+1 。求数列an的前n项和
答：因为a(n+2)+a(n)=2·a(n+1)所以a(n+2)-a(n+1)=a(n+1)-a(n)所以数列{an}是等差数列 因为a1=1，a2=3 所以等差数列{an}的公差d=2 所以数列{an}的前n项和公式Sn=(1/2)·[1+(2n-1)]·n=n²
已知已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*)证明:1/a1+1/a2+1/a3+...
答：{an+1}为等比数列 公比q=2 首项a1+1=2 an+1=2^n an=2^n-1 1/an=1/(2^n-1)<1/(2^n-2)<1/2^(n-1)1/a1+1/a2+...+1/a(n+1)=1+1/3+1/4+...+1/[2^(n+1)-1]<1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^n =[1-(1/2)^(n+1)]/(1-1/2)=2-(1/2)^n<2...
已知数列{an}满足a1=16,An+1-An=2n,则an/n的最小值为 详解
答：an-a(n-1)=2(n-1)...a2-a1=2 上面的n个式子相加 a(n+1)-a1=2(1+2+...n)=n(n+1)a(n+1)=n(n+1)+16 an=n²-n+16 an/n=n+16/n-1≥2√(n*16/n)-1=7 取等号条件n=16/n,解出n=4 当x=4时,an/n为最小值7 ...
