如图,已知AB是圆O的弦,OB=4,角OBC=30°,点C是弦AB上任意一点[不与点A、B重合]，连结CD并延长CO交圆O于点D
解：（1）过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE=12AB，∠OEB=90°，∵OB=4，∠B=30°，∴BE=OB?cos∠B=4×32=23，∴AB=43；故答案为：43；（2）连接OA，∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，又∵∠B=30°，∠D=28°，∴∠DAB=58°，∴∠BOD=2∠DAB=116°；（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°，∴△DAC∽△BOC，∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=12AB=23．∴当AC的长度为23时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似．
解：（1）连接OA，
∵OA=OD=OB，
∴∠DAO=∠ADC，∠OBC=∠OAB，
∵∠OBC=38°，∠ADC=19°，
∴∠DAO=19°，∠OAB=38°，
∴∠DAB=19°+38°=57°，
∴由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=2×57°=114°．
（2）∵C为AB中点，OC过O，
∴DC⊥AB，BC=AC=2√3，
∵OB=4，
∴在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC=2，
即DC=OD+OC=4+2=6，
在Rt△DCB中，由勾股定理得：BD=√（DC²+CB²）=6²+(2√3 )2²=4√3
．
因为 OA=OB，OA=OD，
所以 角OAB=角OBC=30度，角OAD=角ADC=18度，
所以 角BAD=角OAB+角OAD
=30度+18度
=48度，
所以 角DOB=角BCD+角OBC
=角BAD+角ADC+角OBC
=48度+18度+30度
=96度。
[2]解：在三角形OAC中，因为 OA=OB=4，角OAC=角OBC=30度，AC=2根号3，
所以 由余弦定理可得：
OC^2=OA^2+AC^2--2XOAXACXcosOAC
=4^2+(2根号3)^2--2X4X(2根号3)Xcos30度
=4，
OC=2，
所以 OC^2+AC^2=OA^2,
所以 三角形OAC是直角三角形，角OCA=90度，
所以 三角形OCB也是直角三角形，角OCB=90度，
因为 角OCA=90度，
所以 BC=AC=2根号3，
因为 OD=OB=4，OC=2，
所以 CD=OC+OD=6，
所以 CD/BC=AC/OC=根号3，
所以 直角三角形ACD相似于直角三角形OCB。
(1)连接OA，根据OA=OB=OD，求出∠DAO、∠OAB的度数，求出∠DAB，根据圆周角定理求出即可；
(2)过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得出∠ACD=∠OCB=90°，求出DC长得出 …
（1）解：连接OA，
∵OA=OB=OD，
∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，
∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，
由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°．
（2）证明：过O作OE⊥AB于E，OE过O，
由垂径定理得：AE=BE，
∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°，
∴OE=12OB=2，
由勾股定理得：BE=23=AE，
即AB=2AE=43，
∵AC=23，
∴BC=23，
即C、E两点重合，
∴DC⊥AB
∴∠DCA=∠OCB=90°，
∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=23，
∴ACOC=CDBC=3，
∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）．
点评：本题综合考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生能否运用性质进行推理，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．见菁优网
如图,AB是圆O的弦,以A为圆心的圆交圆O于C,D,交AB于E,CD交AB于F。求证...
答：连接AD、AC、BC，⊙A中，△ACD是等腰三角形，∠D=∠ACF；在⊙O中考查△ABC和△ACF:：∠B=∠D=∠ACF，∠BAC=∠CAF是两三角形公用角，所以△ABC∽△ACF，AB/AC=AC/AF，即AC²=AF·AB，把半径AC换成AE就是AE²=AF·AB。
如图,已知AB是圆心O的弦,半径OC,OD与AB分别交于点E,F,且AE=BF,求证弧...
答：做辅助线，连接OA和OB，则OAB为等腰三角形，角OAB=角OBA，AE=BF，所以AF=BE，又因为OA=OB，根据边角边，所以三角形OAF和OBF全等，所以角度AOF=BOE，角EOF为公共角，所以角AOC=BOD，所以弧AC等于BD
如图,已知AB是圆O的弦C在圆O上CD垂直于AB于点D,P点在圆O上,并且CP平分...
答：连接OP，交AB于E 延长CO，交圆于F ∴∠PCF=1/2∠POF ∵CP平分∠DCO，那么∠PCF=∠1/2∠DCO ∴∠POF=∠DCO ∴CD∥OP(同位角相等，两直线平行）∵CD⊥AB，即∠CDA=9° ∴∠OEA=∠CDA=90° ∴OP⊥AB ∴垂径定理：AE=BE ∵PE=PE，∠AEP=∠BEP=90° ∴△AEP≌△BEP(SAS)∴PA=PB ...
如图,已知AB是圆O的弦,半径OA=2cm,∠AOB=120°
答：过O点做OC⊥AB，所以AC=BC（垂径定理）∠AOC=∠BOC=60°，所以OC=10，AB=10倍的根下3(三角函数)。则AB=20倍的根下3。S△AOB=?AB×OC=50倍的根下3
(2012?长宁区一模)如图,已知AB是⊙O的弦,半径OC、OD与AB分别交于点E...
答：证明：取AB中点G，连接OG并延长与⊙O交于H．∵O是圆心，且G是弦AB的中点，∴AH=BH； ∵AG=BG 且AE=BF，∴EG=GF；又∵OG过圆心，∴CH=HD，∴AH-CH=BH-HD，即AC=BD．
如图AB是圆O的弦,半径OC交AB于D,点P是
答：1)OC是半径 OC⊥AB 所以AC弧=BC弧 因为∠APB=60° 所以AB弧=120° AC弧=BC弧=60° 所以∠BOC=60° OC=OB 所以∠OCB=60° 因为∠OCB=2∠BCM 所以∠BCM=30° 所以∠OCM=∠OCB+∠BCM=90° 所以CM与圆O相切。2)∠P=60°不变。圆心O在AP上a最小，这时AP是直径 ∠ABP=90° a=...
已知:如图,AB是圆O的弦,AC是园O的切线,作OK⊥AB,垂足为K。求证:角BAC=...
答：如图：已知：AB是圆O的弦，AC是园O的切线，作OK⊥AB，垂足为K。求证：角BAC=角AOK.证明：引辅助线BD⊥AC交AC于D，因为AC是切线；所以，OA⊥AD；则：OA//BD；∠OAB=∠ABD；∠BAC=90D-∠ABD=90D-∠OAB=∠AOK。证毕。
已知 如图 AB是圆O的弦,且AC=BD,半径OE、OF分别过CD两点。求证弧AE=弧...
答：证明：连接OA、OB，过O作OH⊥AB于H，则AH=BH，∵AC=BD，∴CH=DH，∴OH垂直平分CD，∴OC=OD，∵OA=OB，AC=BD，∴ΔOAC≌ΔOBD，∴∠AOE=∠BOF，∴弧AE=弧BF(相等的圆心角所对的弧相等)。
如图,已知AB是是圆O的弦,弧AE=弧BF,半径OE,OF分别交AB于点C,D。求证...
答：连结OA、OB，∵OA=OB，∴∠A=∠B，∵弧AE=弧BF，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD，∴△OCD为等腰三角形
如图,已知AB是⊙O的弦
答：过点O作OM⊥AB交AB于M，然后用垂径定理得出BM=½AB，用30°角的余弦值求出BM，最后AB就出来了
