大学数学都牵扯到哪些问题?
作者&投稿：江诗 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
大学数学题目~
结果均分利益n份后，每个人得到的是原来的n倍。更何况如果是精神领域里面，利益只会共享，是不用均分的。上面的乘法都是理想化的，但是可以大概比喻一下意思。
小组学习的第二个好处，就是你学会了这种工作方法，学会了不光可以跟别人一块踢足球，也可以一起聊数学，学会了在人与人交往的乐趣中学数学。这样，你就把数学学活了。当然你可以将这里“数学”换成任何一门研究工作。
从理论上听得很好，不过在我们新生中，还会遇到一个问题。因为大家目前的知识面基本相同，所以能力上相加，不会是n倍，而往往只是团队中最强的那个人的能力。所以从表面上看，这只会对团队中弱的那些人会更好，而最强的人反而吃亏。那么最强的人自然不愿意了，退出。接着第二强的变成最强的，又好处不大了，退出。如此递推，小组就没了。那么解决这个问题的建议是：
a. 愿望共享：在我们的小组学习中，大家的愿望或者说目的、意愿应该是基本相同的才行。这样在小组中愿望才能积累相加（否则不就相减了吗），然后再被每一个人共享。如此你个人的愿望，或者叫做学习动力就是n倍了。这是解决动力问题的一个重要手段。所以能力强的同学，即使他暂时不能从别的同学那得到能力上的叠加，但他仍然可以从与别的同学的愿望共享（积累）中获得好处。这个好处比能力更具有关键性。注意前提是，这个小组中各成员的志愿是相同、和谐的。否则就干脆不要这个小组算了。也因为这个原因，大学老师不会硬性规定组成什么小组。完全靠学生自由组合。国外的很多学习课程的考试，就已经是以小组为单位的了，每次的小组都是自由组合的。需要注意的是，那种以为小组学习、考试可以让某成员偷懒的情况，实际上是不会发生的，因为下次别人就不会和你组成小组了，除非大家都是得过且过的人。国内在小组学习上，不管是中学还是大学都做的不好。所以我们的课程在小组学习方面，没有可操作的经验。但如果有同学自愿组成小组后，可以请任课老师具体指导，比如i.疑难解答小组学业问题。ii.请老师参加小组的演讲，看看老师是如何做学生的。iii.可以通过任课老师与更多的老师进行联系，不仅是首师大的，我们很多的老师都跟北大、中科院那些学校的老师、博导们有学术的联系。只要大家组成一个认真工作的小组，有交流意识。可以说，所有的老师都会提供他能做到的帮助。
b. 能力分化：就需要我们的小组成员，在逐渐建设时，自然而然地出现能力分化。这样在不同方面，会有不同的最强的人。最具体的，比如这个人英语强，那个人数学强。这不是硬性计划，而会是现实中自然而然的结果。这一点，在以后研究生乃至工作后的合作小组中会更突出。
c. 小组的演讲：因为演讲对演讲者本人的帮助，实际上往往大于听众。美国数学学会在它的正式报告中就指出，要掌握一门数学仅听过课后是不行的。更要有两种方法：一个就是把这个内容演讲、开课；另一个是把它应用，比如学一门后继课程或者是去科研实践。所以最强者在这个小组中做演讲，几次下来后，他会发现对他的帮助也是很大的。而且他会发现，别人虽然比他弱，但在他讲课的过程中，仍能给他帮助，最简单地比如找错，因为自己的错自己是很难发现的。
d. 虽然小组学习被我说得这么好，但在现实中如果你找不到志同道合的人一块学习，那还是一个人学习的好。哪怕因此而显得特立独行，混世和俗反而会害了你自己本来的理想。另外，即使组成小组的话，也要让小组人数不超过3人，以保持高效率。同时在学习过程中，若某成员最终被证明不具有与你同样的努力时，应该立刻结束与他的共同学习，不要被他拉了后腿，我所说的小组学习并不是有的中学中提倡的那种好学生牺牲自己的时间、精力来帮助较差的学生。如果你不能从这个小组中获得好处，反而要牺牲，那还是赶快撤得好。
小结：小组学习是中学课堂式教育不能培养出的学习态度，但是它却会对自学式学习产生关键的作用。而我们大学学习的特点正是自学比例的不断加大。小组起作用来源于它对
愿望共享 能力分化
两个方面的乘法效应。实际上，这种乘法效应组织结构，应该是一个大学（团队）比另一个大学（团队）强的重要原因，而不仅仅这个大学的个人（在进入大学的时候）强。如果说到高考知识，北大的学生比Harvard的学生不见得弱，可能还要强，大学课程的考试繁难度，北大的也并不见得差。但大家可以去Harvard数学系的主页，看看他们对本科生的工作方法。将会发现他们的教学方法，使得Harvard数学系大四的学生能够作出多么好的工作，并且这种水平下的本科生论文演讲，可以排满整个学期（每周一次），这种演讲即使对于我们国内的教师来说，听了也会受益的。
二. 学习习惯
在有了正确的学习态度后，在探索具体的数学思维方法（数学修养）之前，我们要检验一下自己的学习习惯是否会好到让我们事半功倍的效果。下面都是根据我个人的经验和所见过的数学高手们的学习习惯所写。当然每个人都会有他的认识，但我写的是所有人的共性的东西，是独木桥。就是说下面的三点是学习道路上的独木桥，如果做不到的话肯定是学不好的，而不管他是笨蛋还是天才。如果你在实践中发现我是错的，你不需要这三点也可以学得很好，请及时与我联系、交流，确认你的情况属实，我会以100RMB作为赌注（赌注不大是因为我自己掏腰包，但还要打赌是为了发现天才和我的错误之处）。
A．随时提问
在我的课堂上是允许学生随时、随处提问的。这样做的好处是可以及时发现、解决学生的问题，进行有益的交流。有些同学会有两个担心：1影响课程进度，2自己问的问题太简单了，会影响别的同学，甚至让自己受到笑话。其实第二个问题，我已经教了好几年的书，还从来没发现过一个彻头彻尾的愚蠢问题。班上总会有10人以上具有与提问者相同的问题。所以解决他们的问题，不就是我们课程的真正的进度吗？当然，有些极为个别的情况，我会说，我们过一会或课下解决。但问不问的责任在你们学生啊，答不答的责任才在老师。而且从我的教学情况看这种情况极少发生。至于别的老师，若是他没这个规定，为了保持讲课的流畅性，学生可以在下课后问。你是付了钱和时间、精力上学的，有提问的权利，千万别不好意思。
很多同学会理解到上面说的话是对的。但更少的大一新生会理解到它的意义。它意义上的高度体现在
问题是一切自然科学的核心
自然我们的数学更是如此。实际上我们那些学得不太好的同学，他们的问题就出在他们连自己在数学书上到底哪里出了问题都不知道。与中学不同在于，想在数学上先把自己的问题找出来，很多同学能把这一点做到都不容易，要耗费高度的体力、智力。这一点刚从中学出来的大一新生可能没有体会，因为中学数学书不会给大家造成这样的困难，为什么呢？大家学过大学数学后就会发现中学数学从严格意义上还不能算作真正的数学，而只能叫做计算。所以当我跟大四学生讲这一点时，他们都深有感触。对于大学数学书，你要不抓着以提出问题为纲的想法，可能自己以为自己学会了，其实碰到有经验的人（任课老师、研究生、高水平本科生），问几个问题，甚至大多数就是书上的原话，可能自己还是会被一问一个倒。
B．随手记算
又是一个“随”，即在数学课堂上做笔记、同步（或超前）于老师计算。尤其是前者，可能在中学是没有过的。大家很多人可能从小到大，从来没做过数学笔记。现在到了大学为什么要做呢？
原因很简单，就是脑子不够用了。每个人总会碰到他能力的上限，即使你大一课程觉得脑子够用，那么总有一天，研究生(博士生)课程、科研实践的时候，会发现自己的脑子不够用了。我们大学的数学，不再可以像小学数学那样，聪明的学生可以靠心算就想出答案来。大学的公式演算，不靠笔，就靠耳朵和眼睛灌，据我的经验，大多数人没有那么聪明，还是得靠手写手算才行。我一直提倡随手记算这一点，但在我以前的数学课堂上，已经教过一年后，仍然有30%（或更多）的同学没有手里拿着笔，桌上放着白纸。其实在这些同学中，我并没发现有特别聪明过人之材。所以他们不做这件事的原因，也许还是学习动力不够吧。
进一步具体说一下为什么脑子不够用了，随手记算又是如何能起到帮助作用的：第一、就是你思维的速度跟不上眼睛阅读的速度了，但这时候，如果你做随手笔记计算的话，脑子思维的速度就能跟上比较慢的手写的速度。从而让自己可以认真地思考资料，不会因为眼睛速度快、脑子跟不上，而浮光掠影过去。第二、在课堂上做笔记，建议只记要点，下课再通过这些关键词和索引来回忆、整理出文本，这实际母可就没这些讲究，每个字母实际上是无意义的（除词根外，但词根里的单个字母也是无意义的）。综上所述，可以把数学中这些记忆统称为“组合式记忆”，不过心理学书中还没这个提法，我们就暂且这样叫吧。我们数学上实际记的就是组合方式。那些虽然记会了公式，但仍然不会做题的同学，可能是在这点上有问题，最低级的错误是比如上面罗列的那些隐藏在公式字母后面的数学意义之信息就没去弄明白，也没确定哪些需要自己去记。
2. 英语要记的单词都罗列在词汇表中，甚至还有专门服务于背单词的书。但我们的数学要记的东西，是不是能很清楚的列成一个表，让大家记呢？是有这样的表，如我们数学分析之中的积分表（当然记的时候注意要记其组合方式啊）。除此以外，还需要记什么，老师能给学生出一个罗列吗？回答是，在数学学习规律上，不可能有这个罗列表（完全罗列）。大家可以发现，我们前面讲的地图式笔记中的标志点，其实就是我们数学中要记的东西。这些标志点怎么发现呢？你从它的做法中可以发现，必须通过挂筛的方法，才能发现出适合自己的标志点。当然这也不是绝对的，老师在上课时候的一些强调，就可以认为是这门课程的地图标志点，但适于你的完整的标志点地图还是得自己反复的思考才能得到。所以从这个分析可以看出，我们数学要记什么样的东西，本身就是一个问题。需要你选择和检验哪些是自己要记的，那些不用记。那么有些人说，我不管那么多，所有的公式我都记住不就得了。这些人错了，因为用最少的记住的东西，通过推理、思考来复原整个数学内容，才能真正体现出我们的数学能力，去面对千变万化的数学题目。我们的各种考试，不管达标性的还是选拔性的，繁难度虽然不同，但都是为此设计的。
3. 数学中更应该强调的是推理，记忆是在整个学习过程（推理、比较）中自然而然达到的效果，所以并不像英语学习那样，需要专门抽出一个时间去记忆数学的知识。同时数学中使用记忆的目的，也并不是为记住数学公式，而是为了发现我们的未知。所以不像英语那样，对于忘记的东西就再记一遍，而是要思考到底是什么思想我们没掌握，所以才记不住、所以才不能从标志点推出原有的证明。因此我们使用了一个形象的说法：“挂筛：把记忆不仅当作挂钩，也当作筛子”，这时就不像英语只用到单纯的记忆力（再记一遍），而需要你所有的数学思维能力去比较、思考。所以，可以说挂筛是数学上的演算方法中的一个重要手段，从中更可以发现哪些东西是数学上重要的，从而方便以后的笔记整理工作。
小结：将我们以上提出的三个要点可以归结成：
滚动学习法＝提问×（笔记+挂筛）
称为滚动学习法，是因为它可以产生滚雪球的学习效应。当然，这个滚动开始的时候很苦，要耗费掉很多我们在学习动力培养中得来的“钱”。可是它在所有能够达成你目的的道路选择中，是那条最短、最省油、最安全的路线。
三．数学修养
下面只是提出了我们要着重练习的基本数学思维能力。但大家要真正理解掌握，则必须在课程的具体例子之中。现在，它们对于大家不过是文字，先有个印象，模糊地知道努力的方向。
A符号对应
解释：符号在一个地方变了，跟它相关的符号会在其它地方跟着变，自己要保持着对这种符号对应变化的跟踪能力，这是最基本的能力。
举个例子，有位其实在他们班上学得很好的同学问我问题（今年已考上中科院研究生），王老师，这个地方 “M<…..”,我不太明白，给我讲讲吧。我当时已在首师大教了两年，对学生有了一定的了解。我就问，你先告诉我这个 M 是什么，在哪里，结果讲不出来。自然，连这个都不知道，那还问什么啊。大家别笑，这种事情会经常地出现，因为我们的大学数学是会不断的出现新符号（概念），那么能不能跟上这种符号对应，是数学具体学习中遇到的第一个困难。
大家不要轻视这个困难，符号对应的习惯对于我们大多数人类来说，不是天生的。比如，我从讲台上往外扔一根粉笔，你绝对不会认为桌上的粉笔盒会因此发生什么改变。但是在数学中，一个地方的符号变了，可能很远的一个地方的另一个符号也应该发生相应变化，如果你跟不上这个变化，那出错是难免的。我们大家数学上的大部分错误就来源于此，所以我们要养成平常生活中基本没有的条件反射“符号对应”。
B.变形
中学中就已经很是重要的换元法，可以算是这里说的“变形”方法的一条。上了大学后还会有另外几种变形方法，但换元法无疑是基础。你达到要求了吗？可以拿我们的“Elementary Math for freshman”测一测。
与上相同，我们再说一下变形方法跟我们平常生活习惯的不同，从而明白变形法对于我们人类本性上的困难。变形法就好像化妆术，但生活中一个人化妆后，我们还容易认得，这个过程甚至是自动的。但数学中就难了，我们往往得主动思考，才能发现此问题不过是彼问题的一个变形。
C．组合
组合就是把不同的东西拿来混在一起思考。我只指出两个最重要的例子。
1公式、几何、汉语解释的互相转化，
比如看见书上只有公式，看自己能不能把它用汉语解释出来，或者画个图表示出来。反之亦然。如此才能说是学通了。
2两条道路互相比较，从而得到答案。我们数学上经常爱玩这个花招。中学的解方程其实就是这个道理。方程左边变化，再和方程右边的变化比较，最后得出答案。通过比较我们更可以知道数学中的奇妙在哪里。
小结：明白了这些数学的思维方法观点，我们带着这样观点去看书时，定理、公式才不再是一堆符号的集合，而是思想上可以感知的实在。我们也会好像学到了化功大法，那些学问才能被真正的吸收、融解、繁殖。同时的，当你们给每一种思维法中找到自己（特有感觉）的范例时，这些理解也才能活起来。不过在这个过程中，你不要误以为我们的目的就是为了读书，忘了自然科学的真正使命或曰核心是解决问题，做题仍然是关键的。只不过与中学时有两个不同。第一点，在中学下了课，基本不用再仔细复习看书，就开始找题做了。可是大家会发现在大学，必须在下课后，再如老牛一样地反刍（我们称为挂筛式复习法），将课本内容融会贯通后，才有可能把习题作出。所以中学做题，好像开门见山，大学做题有如进山寻宝，需要在找到、挖到宝藏前做很多的知识准备工作。第二点，大学开始，学生（起码是那些准备考研的）要逐渐学会做科研，其实就是做题。不过要求是这道题以前没人做过。所以有可能这道题本身就是你自己出的，你的科学(数学)修养在这时就起作用了，一是要保证做的出来，最重要的二，是更保证别的科学家重视你的问题和结果。另外时间上表现为，中学奥林匹克可能是用3个小时做6道（自己没见过的）题，科研则可能是用1000个小时做一道（所有人没做过的）题。本科生科研会相对容易一些，但动真格的也要上百小时。这么长尺度的时间中，前面所说到的三大方面素质都会起作用，而数学修养的作用是保证你不至于走的太久而迷路。
结语：说了这么多，希望的是系统地表示大学和中学的学习方法的不同之处。以供大学一二年纪的新生们能够尽快地走出迷糊，开始自己的人生规划。不过聪明的同学会发现，虽然这些不同是现实存在的。但反过来想想，中学生又何尝不可以使用上面这些所谓的大学学习方法进行学习呢？所以这个不同仅仅是我们的教育制度产生的，中学和大学的学习方法应该本质上是没有什么不同的。我们这里不过是借提出这个问题，来引开我们的思考而已。
存留的重要问题
A. 精神领域（数学领域）中的“Money”是什么？
你要培养自己的内在学习动力，总得先知道它是什么才对。有人说是兴趣，有人说是做题。更有人错认为是外在压力，可是缺了内在动力，一条腿蹦着走路总是太累。对于每个个人也许标准答案是不同的，但我希望大家最好用动词来描述。然后你也就知道如何让自己内心的这个“钱”进入良性循环，越工作越多，当然这是要在艰苦的探索中才能悟到、做到。
B. 什么样的学习方法或学习习惯会使得你的学习产生“滚雪球”似的效应？
我们的答案是“挂筛”和“索引式笔记”。当然大学四年的时间可以让你去寻找到最适合自己的答案。课堂上的随手记算是比较容易做的，但是要把这些草稿转化为我们以后能够使用的资料形式。需要整理很多遍。这个资料形式我们取了一个令人启发的名字：地图式笔记。但它到底与课本形式具有哪些不同之处，它的具体形式、规格、范式是什么样的？我们只是说了很少的提示。同时，因为它是个人化的，所以同学们无法从已有的教科书和文章中发现它的范例，以资学习。不过大家在做的过程中会探索到它的真谛，来检验自己做的地图是否精巧。也许，你要探索很多年才能发现最适合自己的地图册记法。
C. 如何在你的同学中发现和你志同道合的人，组成自学小组，这个当然不是问题而是行动。如何给这个小组制定好的目标、计划和工作方法？是进山寻宝过程中要解决、会解决的问题。但，不管是问题还是行动，中国学生普遍不重视，因而在这方面损失巨大、造成遗憾。也许这些志同道合的同学，比老师对你的作用还要多些。
D. 如何能看懂数学定理？而不仅仅是一堆符号的集合，不仅仅是一些逻辑的步骤。怎样找到适合自己的理解数学的化功大法？
总之，之所以还没有进一步论述这些的问题，给出解答方法，不是因为我没有时间打字了，而是为了让学生可以在做中思考。目前的版本已经足够让同学们开始起步了，因为其中在系统论述的架构下已经包含了很多操作性的方法。老师以后的作用是通过与学生的具体交流（最好以小组为单位，这样可以真实交流），来加速学生的这一进程。
大学数学系跟高中相联系较多的有高等代数、解析几何、数学分析、数值分析、概率与数理统计、离散数学
三大类:
微积分,
线形代数,
概率
微积分 专门讲
太重要了
f'(x)=4x^4+1恒大于0
说明f(x)=x^5+x-1为单调递增函数,与x轴只有一个交点
又因为 f(0)=-1
设f(a)=0,由于f(x)=x^5+x-1为单调递增函数，0>-1,则a>0
因此f(x)=x^5+x-1只有一个正根
P(4,2) / P(5,3) = 1/5
大学结果均分利益n份后，每个人得到的是原来的n倍。更何况如果是精神领域里面，利益只会共享，是不用均分的。上面的乘法都是理想化的，但是可以大概比喻一下意思。
小组学习的第二个好处，就是你学会了这种工作方法，学会了不光可以跟别人一块踢足球，也可以一起聊数学，学会了在人与人交往的乐趣中学数学。这样，你就把数学学活了。当然你可以将这里“数学”换成任何一门研究工作。
从理论上听得很好，不过在我们新生中，还会遇到一个问题。因为大家目前的知识面基本相同，所以能力上相加，不会是n倍，而往往只是团队中最强的那个人的能力。所以从表面上看，这只会对团队中弱的那些人会更好，而最强的人反而吃亏。那么最强的人自然不愿意了，退出。接着第二强的变成最强的，又好处不大了，退出。如此递推，小组就没了。那么解决这个问题的建议是：
a. 愿望共享：在我们的小组学习中，大家的愿望或者说目的、意愿应该是基本相同的才行。这样在小组中愿望才能积累相加（否则不就相减了吗），然后再被每一个人共享。如此你个人的愿望，或者叫做学习动力就是n倍了。这是解决动力问题的一个重要手段。所以能力强的同学，即使他暂时不能从别的同学那得到能力上的叠加，但他仍然可以从与别的同学的愿望共享（积累）中获得好处。这个好处比能力更具有关键性。注意前提是，这个小组中各成员的志愿是相同、和谐的。否则就干脆不要这个小组算了。也因为这个原因，大学老师不会硬性规定组成什么小组。完全靠学生自由组合。国外的很多学习课程的考试，就已经是以小组为单位的了，每次的小组都是自由组合的。需要注意的是，那种以为小组学习、考试可以让某成员偷懒的情况，实际上是不会发生的，因为下次别人就不会和你组成小组了，除非大家都是得过且过的人。国内在小组学习上，不管是中学还是大学都做的不好。所以我们的课程在小组学习方面，没有可操作的经验。但如果有同学自愿组成小组后，可以请任课老师具体指导，比如i.疑难解答小组学业问题。ii.请老师参加小组的演讲，看看老师是如何做学生的。iii.可以通过任课老师与更多的老师进行联系，不仅是首师大的，我们很多的老师都跟北大、中科院那些学校的老师、博导们有学术的联系。只要大家组成一个认真工作的小组，有交流意识。可以说，所有的老师都会提供他能做到的帮助。
b. 能力分化：就需要我们的小组成员，在逐渐建设时，自然而然地出现能力分化。这样在不同方面，会有不同的最强的人。最具体的，比如这个人英语强，那个人数学强。这不是硬性计划，而会是现实中自然而然的结果。这一点，在以后研究生乃至工作后的合作小组中会更突出。
c. 小组的演讲：因为演讲对演讲者本人的帮助，实际上往往大于听众。美国数学学会在它的正式报告中就指出，要掌握一门数学仅听过课后是不行的。更要有两种方法：一个就是把这个内容演讲、开课；另一个是把它应用，比如学一门后继课程或者是去科研实践。所以最强者在这个小组中做演讲，几次下来后，他会发现对他的帮助也是很大的。而且他会发现，别人虽然比他弱，但在他讲课的过程中，仍能给他帮助，最简单地比如找错，因为自己的错自己是很难发现的。
d. 虽然小组学习被我说得这么好，但在现实中如果你找不到志同道合的人一块学习，那还是一个人学习的好。哪怕因此而显得特立独行，混世和俗反而会害了你自己本来的理想。另外，即使组成小组的话，也要让小组人数不超过3人，以保持高效率。同时在学习过程中，若某成员最终被证明不具有与你同样的努力时，应该立刻结束与他的共同学习，不要被他拉了后腿，我所说的小组学习并不是有的中学中提倡的那种好学生牺牲自己的时间、精力来帮助较差的学生。如果你不能从这个小组中获得好处，反而要牺牲，那还是赶快撤得好。
小结：小组学习是中学课堂式教育不能培养出的学习态度，但是它却会对自学式学习产生关键的作用。而我们大学学习的特点正是自学比例的不断加大。小组起作用来源于它对
愿望共享 能力分化
两个方面的乘法效应。实际上，这种乘法效应组织结构，应该是一个大学（团队）比另一个大学（团队）强的重要原因，而不仅仅这个大学的个人（在进入大学的时候）强。如果说到高考知识，北大的学生比Harvard的学生不见得弱，可能还要强，大学课程的考试繁难度，北大的也并不见得差。但大家可以去Harvard数学系的主页，看看他们对本科生的工作方法。将会发现他们的教学方法，使得Harvard数学系大四的学生能够作出多么好的工作，并且这种水平下的本科生论文演讲，可以排满整个学期（每周一次），这种演讲即使对于我们国内的教师来说，听了也会受益的。
二. 学习习惯
在有了正确的学习态度后，在探索具体的数学思维方法（数学修养）之前，我们要检验一下自己的学习习惯是否会好到让我们事半功倍的效果。下面都是根据我个人的经验和所见过的数学高手们的学习习惯所写。当然每个人都会有他的认识，但我写的是所有人的共性的东西，是独木桥。就是说下面的三点是学习道路上的独木桥，如果做不到的话肯定是学不好的，而不管他是笨蛋还是天才。如果你在实践中发现我是错的，你不需要这三点也可以学得很好，请及时与我联系、交流，确认你的情况属实，我会以100RMB作为赌注（赌注不大是因为我自己掏腰包，但还要打赌是为了发现天才和我的错误之处）。
A．随时提问
在我的课堂上是允许学生随时、随处提问的。这样做的好处是可以及时发现、解决学生的问题，进行有益的交流。有些同学会有两个担心：1影响课程进度，2自己问的问题太简单了，会影响别的同学，甚至让自己受到笑话。其实第二个问题，我已经教了好几年的书，还从来没发现过一个彻头彻尾的愚蠢问题。班上总会有10人以上具有与提问者相同的问题。所以解决他们的问题，不就是我们课程的真正的进度吗？当然，有些极为个别的情况，我会说，我们过一会或课下解决。但问不问的责任在你们学生啊，答不答的责任才在老师。而且从我的教学情况看这种情况极少发生。至于别的老师，若是他没这个规定，为了保持讲课的流畅性，学生可以在下课后问。你是付了钱和时间、精力上学的，有提问的权利，千万别不好意思。
很多同学会理解到上面说的话是对的。但更少的大一新生会理解到它的意义。它意义上的高度体现在
问题是一切自然科学的核心
自然我们的数学更是如此。实际上我们那些学得不太好的同学，他们的问题就出在他们连自己在数学书上到底哪里出了问题都不知道。与中学不同在于，想在数学上先把自己的问题找出来，很多同学能把这一点做到都不容易，要耗费高度的体力、智力。这一点刚从中学出来的大一新生可能没有体会，因为中学数学书不会给大家造成这样的困难，为什么呢？大家学过大学数学后就会发现中学数学从严格意义上还不能算作真正的数学，而只能叫做计算。所以当我跟大四学生讲这一点时，他们都深有感触。对于大学数学书，你要不抓着以提出问题为纲的想法，可能自己以为自己学会了，其实碰到有经验的人（任课老师、研究生、高水平本科生），问几个问题，甚至大多数就是书上的原话，可能自己还是会被一问一个倒。
B．随手记算
又是一个“随”，即在数学课堂上做笔记、同步（或超前）于老师计算。尤其是前者，可能在中学是没有过的。大家很多人可能从小到大，从来没做过数学笔记。现在到了大学为什么要做呢？
原因很简单，就是脑子不够用了。每个人总会碰到他能力的上限，即使你大一课程觉得脑子够用，那么总有一天，研究生(博士生)课程、科研实践的时候，会发现自己的脑子不够用了。我们大学的数学，不再可以像小学数学那样，聪明的学生可以靠心算就想出答案来。大学的公式演算，不靠笔，就靠耳朵和眼睛灌，据我的经验，大多数人没有那么聪明，还是得靠手写手算才行。我一直提倡随手记算这一点，但在我以前的数学课堂上，已经教过一年后，仍然有30%（或更多）的同学没有手里拿着笔，桌上放着白纸。其实在这些同学中，我并没发现有特别聪明过人之材。所以他们不做这件事的原因，也许还是学习动力不够吧。
进一步具体说一下为什么脑子不够用了，随手记算又是如何能起到帮助作用的：第一、就是你思维的速度跟不上眼睛阅读的速度了，但这时候，如果你做随手笔记计算的话，脑子思维的速度就能跟上比较慢的手写的速度。从而让自己可以认真地思考资料，不会因为眼睛速度快、脑子跟不上，而浮光掠影过去。第二、在课堂上做笔记，建议只记要点，下课再通过这些关键词和索引来回忆、整理出文本，这实际母可就没这些讲究，每个字母实际上是无意义的（除词根外，但词根里的单个字母也是无意义的）。综上所述，可以把数学中这些记忆统称为“组合式记忆”，不过心理学书中还没这个提法，我们就暂且这样叫吧。我们数学上实际记的就是组合方式。那些虽然记会了公式，但仍然不会做题的同学，可能是在这点上有问题，最低级的错误是比如上面罗列的那些隐藏在公式字母后面的数学意义之信息就没去弄明白，也没确定哪些需要自己去记。
2. 英语要记的单词都罗列在词汇表中，甚至还有专门服务于背单词的书。但我们的数学要记的东西，是不是能很清楚的列成一个表，让大家记呢？是有这样的表，如我们数学分析之中的积分表（当然记的时候注意要记其组合方式啊）。除此以外，还需要记什么，老师能给学生出一个罗列吗？回答是，在数学学习规律上，不可能有这个罗列表（完全罗列）。大家可以发现，我们前面讲的地图式笔记中的标志点，其实就是我们数学中要记的东西。这些标志点怎么发现呢？你从它的做法中可以发现，必须通过挂筛的方法，才能发现出适合自己的标志点。当然这也不是绝对的，老师在上课时候的一些强调，就可以认为是这门课程的地图标志点，但适于你的完整的标志点地图还是得自己反复的思考才能得到。所以从这个分析可以看出，我们数学要记什么样的东西，本身就是一个问题。需要你选择和检验哪些是自己要记的，那些不用记。那么有些人说，我不管那么多，所有的公式我都记住不就得了。这些人错了，因为用最少的记住的东西，通过推理、思考来复原整个数学内容，才能真正体现出我们的数学能力，去面对千变万化的数学题目。我们的各种考试，不管达标性的还是选拔性的，繁难度虽然不同，但都是为此设计的。
3. 数学中更应该强调的是推理，记忆是在整个学习过程（推理、比较）中自然而然达到的效果，所以并不像英语学习那样，需要专门抽出一个时间去记忆数学的知识。同时数学中使用记忆的目的，也并不是为记住数学公式，而是为了发现我们的未知。所以不像英语那样，对于忘记的东西就再记一遍，而是要思考到底是什么思想我们没掌握，所以才记不住、所以才不能从标志点推出原有的证明。因此我们使用了一个形象的说法：“挂筛：把记忆不仅当作挂钩，也当作筛子”，这时就不像英语只用到单纯的记忆力（再记一遍），而需要你所有的数学思维能力去比较、思考。所以，可以说挂筛是数学上的演算方法中的一个重要手段，从中更可以发现哪些东西是数学上重要的，从而方便以后的笔记整理工作。
小结：将我们以上提出的三个要点可以归结成：
滚动学习法＝提问×（笔记+挂筛）
称为滚动学习法，是因为它可以产生滚雪球的学习效应。当然，这个滚动开始的时候很苦，要耗费掉很多我们在学习动力培养中得来的“钱”。可是它在所有能够达成你目的的道路选择中，是那条最短、最省油、最安全的路线。
三．数学修养
下面只是提出了我们要着重练习的基本数学思维能力。但大家要真正理解掌握，则必须在课程的具体例子之中。现在，它们对于大家不过是文字，先有个印象，模糊地知道努力的方向。
A符号对应
解释：符号在一个地方变了，跟它相关的符号会在其它地方跟着变，自己要保持着对这种符号对应变化的跟踪能力，这是最基本的能力。
举个例子，有位其实在他们班上学得很好的同学问我问题（今年已考上中科院研究生），王老师，这个地方 “M<…..”,我不太明白，给我讲讲吧。我当时已在首师大教了两年，对学生有了一定的了解。我就问，你先告诉我这个 M 是什么，在哪里，结果讲不出来。自然，连这个都不知道，那还问什么啊。大家别笑，这种事情会经常地出现，因为我们的大学数学是会不断的出现新符号（概念），那么能不能跟上这种符号对应，是数学具体学习中遇到的第一个困难。
大家不要轻视这个困难，符号对应的习惯对于我们大多数人类来说，不是天生的。比如，我从讲台上往外扔一根粉笔，你绝对不会认为桌上的粉笔盒会因此发生什么改变。但是在数学中，一个地方的符号变了，可能很远的一个地方的另一个符号也应该发生相应变化，如果你跟不上这个变化，那出错是难免的。我们大家数学上的大部分错误就来源于此，所以我们要养成平常生活中基本没有的条件反射“符号对应”。
B.变形
中学中就已经很是重要的换元法，可以算是这里说的“变形”方法的一条。上了大学后还会有另外几种变形方法，但换元法无疑是基础。你达到要求了吗？可以拿我们的“Elementary Math for freshman”测一测。
与上相同，我们再说一下变形方法跟我们平常生活习惯的不同，从而明白变形法对于我们人类本性上的困难。变形法就好像化妆术，但生活中一个人化妆后，我们还容易认得，这个过程甚至是自动的。但数学中就难了，我们往往得主动思考，才能发现此问题不过是彼问题的一个变形。
C．组合
组合就是把不同的东西拿来混在一起思考。我只指出两个最重要的例子。
1公式、几何、汉语解释的互相转化，
比如看见书上只有公式，看自己能不能把它用汉语解释出来，或者画个图表示出来。反之亦然。如此才能说是学通了。
2两条道路互相比较，从而得到答案。我们数学上经常爱玩这个花招。中学的解方程其实就是这个道理。方程左边变化，再和方程右边的变化比较，最后得出答案。通过比较我们更可以知道数学中的奇妙在哪里。
小结：明白了这些数学的思维方法观点，我们带着这样观点去看书时，定理、公式才不再是一堆符号的集合，而是思想上可以感知的实在。我们也会好像学到了化功大法，那些学问才能被真正的吸收、融解、繁殖。同时的，当你们给每一种思维法中找到自己（特有感觉）的范例时，这些理解也才能活起来。不过在这个过程中，你不要误以为我们的目的就是为了读书，忘了自然科学的真正使命或曰核心是解决问题，做题仍然是关键的。只不过与中学时有两个不同。第一点，在中学下了课，基本不用再仔细复习看书，就开始找题做了。可是大家会发现在大学，必须在下课后，再如老牛一样地反刍（我们称为挂筛式复习法），将课本内容融会贯通后，才有可能把习题作出。所以中学做题，好像开门见山，大学做题有如进山寻宝，需要在找到、挖到宝藏前做很多的知识准备工作。第二点，大学开始，学生（起码是那些准备考研的）要逐渐学会做科研，其实就是做题。不过要求是这道题以前没人做过。所以有可能这道题本身就是你自己出的，你的科学(数学)修养在这时就起作用了，一是要保证做的出来，最重要的二，是更保证别的科学家重视你的问题和结果。另外时间上表现为，中学奥林匹克可能是用3个小时做6道（自己没见过的）题，科研则可能是用1000个小时做一道（所有人没做过的）题。本科生科研会相对容易一些，但动真格的也要上百小时。这么长尺度的时间中，前面所说到的三大方面素质都会起作用，而数学修养的作用是保证你不至于走的太久而迷路。
结语：说了这么多，希望的是系统地表示大学和中学的学习方法的不同之处。以供大学一二年纪的新生们能够尽快地走出迷糊，开始自己的人生规划。不过聪明的同学会发现，虽然这些不同是现实存在的。但反过来想想，中学生又何尝不可以使用上面这些所谓的大学学习方法进行学习呢？所以这个不同仅仅是我们的教育制度产生的，中学和大学的学习方法应该本质上是没有什么不同的。我们这里不过是借提出这个问题，来引开我们的思考而已。
存留的重要问题
A. 精神领域（数学领域）中的“Money”是什么？
你要培养自己的内在学习动力，总得先知道它是什么才对。有人说是兴趣，有人说是做题。更有人错认为是外在压力，可是缺了内在动力，一条腿蹦着走路总是太累。对于每个个人也许标准答案是不同的，但我希望大家最好用动词来描述。然后你也就知道如何让自己内心的这个“钱”进入良性循环，越工作越多，当然这是要在艰苦的探索中才能悟到、做到。
B. 什么样的学习方法或学习习惯会使得你的学习产生“滚雪球”似的效应？
我们的答案是“挂筛”和“索引式笔记”。当然大学四年的时间可以让你去寻找到最适合自己的答案。课堂上的随手记算是比较容易做的，但是要把这些草稿转化为我们以后能够使用的资料形式。需要整理很多遍。这个资料形式我们取了一个令人启发的名字：地图式笔记。但它到底与课本形式具有哪些不同之处，它的具体形式、规格、范式是什么样的？我们只是说了很少的提示。同时，因为它是个人化的，所以同学们无法从已有的教科书和文章中发现它的范例，以资学习。不过大家在做的过程中会探索到它的真谛，来检验自己做的地图是否精巧。也许，你要探索很多年才能发现最适合自己的地图册记法。
C. 如何在你的同学中发现和你志同道合的人，组成自学小组，这个当然不是问题而是行动。如何给这个小组制定好的目标、计划和工作方法？是进山寻宝过程中要解决、会解决的问题。但，不管是问题还是行动，中国学生普遍不重视，因而在这方面损失巨大、造成遗憾。也许这些志同道合的同学，比老师对你的作用还要多些。
D. 如何能看懂数学定理？而不仅仅是一堆符号的集合，不仅仅是一些逻辑的步骤。怎样找到适合自己的理解数学的化功大法？
总之，之所以还没有进一步论述这些的问题，给出解答方法，不是因为我没有时间打字了，而是为了让学生可以在做中思考。目前的版本已经足够让同学们开始起步了，因为其中在系统论述的架构下已经包含了很多操作性的方法。老师以后的作用是通过与学生的具体交流（最好以小组为单位，这样可以真实交流），来加速学生的这一进程。
大学数学系跟高中相联系较多的有高等代数、解析几何、数学分析、数值分析、概率与数理统计、离散数学
三大类:
微积分,
线形代数,
概率
微积分 专门讲
太重要了
大学数学的学习过程有哪些常见问题?
答：1.基础薄弱：有些学生在高中阶段没有打好数学基础，进入大学后发现难以跟上课程进度。这会导致他们在学习新知识时感到困难重重。2.缺乏兴趣：有些学生对数学不感兴趣，认为它枯燥乏味。这种态度会影响他们的学习效果，使他们无法专注于课堂内容。3.时间管理不当：大学生活丰富多彩，学生需要平衡学习、社交...
大学数学都牵扯到哪些问题?
答：国内在小组学习上,不管是中学还是大学都做的不好。所以我们的课程在小组学习方面,没有可操作的经验。但如果有同学自愿组成小组后,可以请任课老师具体指导,比如i.疑难解答小组学业问题。ii.请老师参加小组的演讲,看看老师是如何做学生的。iii.可以通过任课老师与更多的老师进行联系,不仅是首师大的,我们很多的老师都跟...
高等数学研究的问题有哪些?希望列举一些
答：大学阶段的数学就要看你所学的专业了,如果不是数学专业,基本上就是简单的线性代数和高等数学,但要比高中难得多,涉及到矩阵,行列式,微分,积分,级数,其中积分是难点,除一般的积分外还有双重积分和多重积分等等一系列的内容.如果是数学专业的学生的话,一年级会学习数学分析,和高等代数,其实别的专业学的线...
大学数二的学习难点有哪些?
答：微积分的理解和应用：微积分是数学二的重要组成部分，它包括极限、导数、积分等概念。这些概念的理解需要较强的逻辑思维能力，而且微积分的计算过程往往比较复杂，需要细心和耐心。此外，微积分的应用问题也往往涉及到实际问题的抽象和建模，这对学生的实际应用能力有较高的要求。线性代数的理解和应用：线性...
大学生数学建模存在哪些问题?
答：1、建模难度大：数学建模非常依赖建模者的专业知识和实际经验，同时建模工作中所使用的数学方法和工具也比较复杂。因此，针对某些特殊领域的问题，建模难度很大，需要很高的技能和专业知识。2、模型的不确定性：许多实际问题具有很高的不确定性，这使得建模者在建立模型时难以完全考虑所有因素，从而产生误差。
大学数学疑问
答：1：高等数学跟线性代数联系不大 高数主要学习的是函数 积分 微分之类的内容，线性代数主要学习矩阵。两个是完全不同的科目，没学过高数也可以学线性代数的。2：概率论跟高数有点联系，有些内容需要有积分和微分的知识，学习之前最好还是学习一些基本的高数知识。高数是基础啊 3：没学过线性代数可以学...
请问大学里的高等数学和高中数学的哪些知识有联系啊?我是文科生高中数学...
答：高中数学在大学还是有涉及的。基本上也都有关系，比如微积分和导数有关，概率论与概率有关等等，不过大学数学比高中数学要高不止一个档次，对于文科生来说比较难，尤其是微积分和概率论。。。因为大学数学因为老师讲完课就走了，请教老师的机会比较少，所以还是要靠自己，平时多做练习题，不懂的问数学...
大学高等数学需要用到高中的哪些知识?
答：首先，我是一名大一的大学生，我觉得高数用得最多的就是求导部分，因为在在求积分运算时，会运用到求导的逆运算，也即不定积分，还有就是多元函数的求导，也即求偏导等等。其次，高数还会用到高中数学的函数部分，以及数列部分，因为在差分方程，无穷级数部分会用到数列的一些基础知识。当然函数肯定会用...
大学高数好头疼,学习要注意哪些问题,怎么样才能把高数学好?
答：把握时间节点来问咖约谈我大学高等数学，让很文科生都倍感头疼，其实不止你一个。我想简要回答三个问题，而对于具体知识，若期末考试需要，于期末考前一月有余时与我约谈，我在课上给你内容归纳和指导，切记时间节点很重要，若是到考前几天就不必了。抛开具体知识和具体题目而言，我想以下三点对你有帮助...
大学数学都有哪些
答：大学数学主要包括：微积分、线性代数、概率论与数理统计、微分方程等。微积分是大学数学的重要基础。它是研究函数的连续变化和无穷限问题的一个分支，涉及到导数、积分等方面。微积分在物理、工程和经济等领域都有广泛的应用。线性代数是数学的一门分支，它主要研究线性方程组和向量空间。这门课程涵盖了矩阵...
