三角形的四心
三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。
1、数学上的重心是指三角形的三条中线的交点，其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理，应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理。
2、三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
3、三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
4、外心是一个数学名词。是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
扩展资料
一、垂直性质
三角形的三条垂直平分线必交于一点
已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O
求证：O点在BC的垂直平分线上
证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO
∵EO垂直平分AC，∴AO=CO
∴BO=CO
即O点在BC的垂直平分线上
二、外心性质
1、三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
2、三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
3、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
4、OA=OB=OC=R
5、∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
6、S△ABC=abc/4R
参考资料来源：百度百科-三角形的四心
是五心吧。。
三角形的五心
一 定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。
上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽。
当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。
⒈外心
三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)
性质
①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
④OA=OB=OC=R
⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
⑥S△ABC=abc/4R
2.内心
三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)
性质
①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
③r=2S/(a+b+c)
④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2
⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
⑥S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)
3.垂心
三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
性质
①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外
②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心
③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF
⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
⑥△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
⑦在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC
⑧三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍
⑨设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
⑩锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
⑪锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）
⑫西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上
⑬设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。
⑭设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。
⑮三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
4.重心
三角形的重心是三角形三条中线的交点。
性质
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
另外，三角形还有旁心，但并不常用，且旁心不与其他四心重合
外心:三角形三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）
内心:三角形三条内角平分线的交点（内切圆的圆心）
垂心:三角形三边上的高的交点
重心:三角形三条中线的交点
三角形的“四心”指哪四心?
答：三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。1、数学上的重心是指三角形的三条中线的交点，其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理，应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理。2、三角形的三条高线的交点叫做三角形...
三角形的几个心分别是指的什么?
答：所谓三角形的"四心",是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心,外心,垂心与重心.1.垂心 三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心.2.重心 三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心.3.三角形三边的中垂线交于一点,这一点为三角形外接圆...
三角形有几个心
答：三角形四心。即重心，内心，外心，垂心。重心:三角形三中线的交点，叫重心。性质:重心分中线两段的比为2/1。内心:三角形三内角平分线的交点，叫内心。即三角形内切圆的圆心。性质:内心到三角形三边的距离相等。外心:三边垂直平分线交点。即三角形外接圆的圆心。性质:外心到三个顶点距离相等。垂心:...
三角形四心的含义和性质
答：重心：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.垂心：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.内心：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.旁心：三角形一内...
三角形的重心,外心,内心,外接圆圆心,内切圆圆心分别是什么?
答：外心是外接圆的圆心，也就是说三角形的三个顶点在外接圆上，所以圆心到三个顶点的距离相等。所以是各边垂直平分线的交点 其余性质都可以从这挖掘出来 所谓三角形的"四心",是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心,外心,垂心与重心.1.垂心 三角形三条边上的高相交于...
三角形的四个心分别是什么的交点特点是什么
答：三角形的五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。等边三角形的四心重合，旁心不与其他四心重合 三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。三角形的...
三角形的四心
答：三角形的四心是：1、重心：三条中线的交点；在三角形的内部。2、垂心：三条高的交点；锐角三角形的垂心在内部，直角三角形的垂心在直角顶点处，钝角三角形的在外部。3、内心：三条角平分线的交点；也就是三角形的内切圆的圆心。4、外心：三边的垂直平分线的交点。也就是这个三角形的外接圆的圆心...
三角形四心的定义及性质
答：三角形的垂心在三角形外。四、内心 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.例：⊙o是△abc的内切圆，△abc是⊙o的一个外切三角形，点o叫做△abc的内心.张角公式:,设点c在线段ab上,ab外一点p对线段ac、bc的张角分别为γ、β...
三角形的几个心都是什么?含义是什么?及其性质
答：重心、垂心、内心和外心.正心是只有等边三角形才具有的,此时这四心合一.一、重心是三角形三边中线的交点 重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中,...
三角形的几个分别心有什么性质?
答：所谓三角形的四心,是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心,外心,垂心与重心.1.垂心 三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心.2.重心 三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心.3. 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆...
