什么叫有理数,有理数有哪些,有什么区别呢?
有理数的概念:
有理数为整数(正整数 0、负整数)和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
一、有理数的定义
有理数有两种分类,分别是正有理数,包括正整数和正分数;负有理数,包括负整数和负分数。
1、正有理数指的是数学术语,除了负数、0、无理数的数字,正有理数能精确地表示为两个整数之比。
2、负有理数就是小于零并能用小数表示的数。如-3、123,-1、、、。
3、有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一,在现实生活中有广泛的应用,是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。但Q并不表示有理数,有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合,而有理数则为有理数集中的所有元素。
二、有理数名字的由来
“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”。事实上,这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来,在英语中是rational number,而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”。但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思(这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同)。所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”。与之相对,“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理。
三、有理数的认识
由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数,反之,每一个十进制循环小数也能化为整数或分数,因此,有理数也可以定义为十进制循环小数。
有理数集是整数集的扩张。在有理数集内,加法、减法、乘法、除法(除数不为零)4种运算通行无阻。
有理数a,b的大小顺序的规定:如果a-b是正有理数,则称当a大于b或b小于a,记作a>b或b<a。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。
有理数集与整数集的一个重要区别是,有理数集是稠密的,而整数集是密集的。将有理数依大小顺序排定后,任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数,这就是稠密性。整数集没有这一特性,两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。
有理数是实数的紧密子集:每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是,仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列,有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的(稠密)子集,因此它同时具有一个子空间拓扑。
四、有理数的运算
加法运算
1、同号两数相加,取与加数相同的符号,并把绝对值相加。
2、异号两数相加,若绝对值相等则互为相反数的两数和为0;若绝对值不相等,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、互为相反数的两数相加得0。
4、一个数同0相加仍得这个数。
5、互为相反数的两个数,可以先相加。
6、符号相同的数可以先相加。
7、分母相同的数可以先相加。
8、几个数相加能得整数的可以先相加。
减法运算
减去一个数,等于加上这个数的相反数,即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。
乘法运算
1、同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
2、任何数与零相乘,都得零。
3、几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负,当负因数有偶数个时,积为正。
4、几个数相乘,有一个因数为零,积就为零。
5、几个不等于零的数相乘,首先确定积的符号,然后后把绝对值相乘。
除法运算
1、除以一个不等于零的数,等于乘这个数的倒数。
2、两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。零除以任意一个不等于零的数,都得零。
注意:
(1)零不能做除数和分母。
(2)有理数的除法与乘法是互逆运算。
(3)在做除法运算时,根据同号得正,异号得负的法则先确定符号,再把绝对值相除。若在算式中带有带分数,一般先化成假分数进行计算。若不能整除,则除法运算都转化为乘法运算。
(4)乘方运算
1、负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。例如:(-2)³(-2的3次方)=-8,(-2)²(-2的2次方)=4。
2、正数的任何次幂都是正数,零的任何正数次幂都是零。例如:2(2的2次方)=4,2 (2的3次方)=8,0(0的3次方)=0。
3、零的零次幂无意义。
4、由于乘方是乘法的特例,因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
5、1的任何次幂都是1,-1的偶次幂是1,奇次幂是-1。
除以零的谬误
在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明:a=b。前提a不等于b
由:0a=0,0b=0,得出0a=0b。
两边除以零,得出0a/0=0b/0。
化简,得:a=b。
以上谬论一个假设,就是某数除以0是容许的。
什么叫有理数,是如何定义?
答:正整数,0,负整数统称为整数。正分数,负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。
有理数分为哪几类
答:1、有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一,在现实生活中有广泛的应用。有理数分类的话可以分为两种,分别是正有理数和负有理数。2、正有理数包括正整数和正分数,正有理数是指除了负数、0、无理数的数字,正有理数能精确地表示为两个整数之比。3、负有理数包括负整数和负分数合,负有...
什么叫做有理数?
答:整数、分数;正数、负数和零;负有理数,非负有理数 无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数,即无限不循环小数。 如圆周率、2的平方根等。实数(real munber)分为有理数和无理数(irrational number)。·无理数与有理数的区别:1、把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数和无限循环...
什么叫有理数?什么叫无理数?
答:有理数是表示为有限小数或无限循环小数的数,无理数是无限不循环小数,其相关内容如下:1、有理数和无理数是我们数学中两个重要的概念。是元素为全体有理数的集合,可以写成某两个整数的比值。例如,1、2.3、4/3等都是有理数。有理数包括整数和分数。整数包括正整数、0和负整数,如1、0、-...
数学里什么叫有理数?什么叫无理数?
答:在初中数学中,数有一种分类是有理数和无理数,下面跟着我一起看看什么是有理数和无理数吧。有理数 有理数的定义是有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数,因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。有...
什么叫做有理数和无理数???
答:例如3/8,通则为a/b。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。0也是有理数,整数和分数统称有理数,整数也可看做是分母为一的分数。比如4=4.0, 4/5=0.8,。无理数:不是有理数的实数称为无理数,即无理数的小数部分是无限不循环的数。如圆周率、√2(根号 2),1/3=0.33333……...
什么是有理数,有理数有哪些运算规则?
答:有理数的定义为:有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数,因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。有理数集是整数集的扩张。在有理数集内,加法、减法、乘法、除法(除数不为零)4种运算通行无阻。
什么叫自然数,有理数,整数?
答:有理数=整数+分数(有限小数+无限循环小数) 除了无理数以外的实数 整数包括正整数,负整数和0.如正整数:1、2、3 负整数:-1、-2、-3,2,自然数是指0和正整数,有理数包括整数和分数,整数指能被1整除的数.,1,自然数指正数,有理数是指无限不循环小数,整数中的数称为整数.整数的全体构成...
什么叫有理数,什么叫无理数
答:有理数:有理数是一个整数a和一个正整数b的比,例如3/8,通则为a/b。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合,整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。无理数:不是有理数的实数称为无理数,即无理数的小数部分是无限不循环的数。
什么叫有理数
答:有理数和无理数统称为实数 无限不循环小数称之为无理数(如圆周率π)任何一个有理数都可以写成分数m/n(m,n都是整数,且n≠0)的形式。从而有理数又称作分数。分数希腊文称为 λογο,原意为“成比例的数”(rational number)意思,但中文翻译不恰当,逐渐变成“有道理的数”。