已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC、CD上的动点，正方形ABCD的边长为4cm． （1）如图①，O是正方
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OB，∠DCO=∠CBO=45°，∠COB=90°，∵ON⊥OM，∴∠NOM=90°，∴∠COB-∠COM=∠NOM-∠COM，∴∠CON=∠BOM，∵在△CON和△BOM中∠NCO＝∠MBOOC＝OB∠NOC＝∠MOB，∴△CON≌△BOM（ASA），∴S△NCO=S△BOM，∴S四边形MONC=S△NOC+S△COM=S△BOM+S△COM=S△COB=14S正方形ABCD=14×4cm×4cm=4cm2，答：四边形MONC的面积是4cm2．（2）解：延长CB到Q，使BQ=DN，连接AQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABQ=90°，∵在△ADN和△ABQ中AD＝AB∠D＝∠ABQDN＝BQ，∴△ADN≌△ABQ（SAS），∴∠DAN=∠BAQ，AN=AQ，∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，∴∠DAN+∠BAM=45°，∴∠BAM+∠QAB=45°，即∠MAN=∠MAQ，∵在△MAN和△MAQ中AN＝AQ∠NAM＝∠MAQAM＝AM，∴△MAN≌△MAQ，∴MN=MQ=DN+BM，∴△MCN的周长是：CN+MN+CM=CN+DN+BM+CM=DC+BC=4cm+4cm=8cm．
解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=90°，∵∠AMB+∠BAM=90°，又∴AM⊥MN，∴∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，∴∠BAM=∠NMC，∴Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）AM=PM．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，∴AH=MC，∵BH=BM，∴∠BMH=∠BHM=45°，∠AHM=135°，∵AM⊥MN，∴∠2+∠3+∠BMH=90°，∵∠2+∠3=45°，∴∠1+∠2=∠BHM=45°，∴∠1=∠3，∵CP是正方形外角平分线，∴∠PCN=45°，∴∠PCM=90°+45°=135°，∴∠AHM=∠MCP，在△AHM和△MCP中，∵ ，∴△AHM∽△MCP（ASA），∴AM=PM；（3）解：∵正方形ABCD边长为4，BM=1，∴CM=4-1=3，∵Rt △ABM ∽Rt △MCN ，∴ ，即 ，∴CN= ，∴S 梯形ABCN = （AB+CN）BC= ×（4+ ）×4= ；∴正方形ABCD边长为4，BM=x，∴CM=4﹣x，∴Rt △ABM ∽Rt △MCN ，∴ ，即 ，∴CN= ，∴y=S 梯形ABCN = （AB+CN）BC= ×（4+ ）×4=﹣ x 2 +2x+8=﹣ （x﹣2） 2 +10，∵当x=2时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10；（4）解：∵∠B=∠AMN=90°，∴要使Rt △ABM ∽Rt △AMN ，必须有 ，即 ，∵Rt △ABM ∽Rt △MCN ，∴ ，∴BM=MC，∴当点M运动到BC的中点时，Rt △ABM ∽Rt △AMN ，此时BM=2．
| （1）∵四边形ABCD是正方形， ∴OC=OB，∠DCO=∠CBO=45°，∠COB=90°， ∵ON⊥OM， ∴∠NOM=90°， ∴∠COB-∠COM=∠NOM-∠COM， ∴∠CON=∠BOM， ∵在△CON和△BOM中
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