如图,在等边△ABC中,AB=4,点D是AB的中点,过点D做射线DE、DF,使角EDF=60°,射线DF
3，
易证△ADF与△DEF相似
可得EF/FD=FD/AF FD^2=AE*AF
由 AF=4-X 故 FD^2=Y(4-X)
在三角形AFD中用余弦定理：
DF^2＝AD^2＋AF^2－2AD*AFcos∠A
＝4＋（4－x）^2－2*2（4－x）cos60°，
＝x^2－6x＋12。
∴ Y=(X^2-6X+12) / (4-X)
定义域 4>x>3
E、C不重合 故X不小于3；
F、A不重合 故x不大于4。
过F作FG∥AB交AB于G，连结DG。
∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC、∠A＝∠B＝∠ACB＝60°。
∵FG∥AB，∴∠FGE＝∠B＝60°，∴△EFG是等边三角形，∴CF＝CG＝FG。
由AC＝BC、CF＝CG，得：AC－CF＝BC－CG，∴AF＝BG。
由AF＝BG、AD＝BD、∠A＝∠B，得：△ADF≌△BDG，∴DF＝DG，
∴容易得出：cos∠DGF＝（1/2）FG/DF＝（1/2）CF/DF。
∵∠EDF＝60°、∠FGE＝60°，∴∠EDF＝∠FGE，∴D、G、E、F共圆，∴∠DGF＝∠DEF。
∴cos∠DEF＝（1/2）CF/DF。······①
在△DEF中，由正弦定理，有：DF/sin∠DEF＝EF/sin∠EDF，
∴sin∠DEF＝（DF/EF）sin∠EDF＝（DF/EF）sin60°＝（√3/2）（DF/EF）。······②
由①、②，得：［（1/2）CF/DF］^2＋［（√3/2）（DF/EF）］^2＝1。
∴x^2/（4DF^2）＋（3DF^2/（4y^2）＝1， ∴x^2y^2＋3DF^4＝4DF^2y^2，
∴（4DF^2－x^2）y^2＝3DF^4。······③
在△ADF中，AF＝AC－CF＝4－x，再由余弦定理，有：
DF^2＝AD^2＋AF^2－2AD×AFcos∠A＝4＋（4－x）^2－2×2（4－x）cos60°，
＝4＋16－8x＋x^2－8＋2x＝x^2－6x＋12。
∴4DF^2－x^2＝4x^2－24x＋48－x^2＝3x^2－24x＋48＝3（x^2－8x＋16）＝3（4－x）^2。
将DF^2＝x^2－6x＋12、 4DF^2－x^2＝3（4－x）^2 代入③中，得：
3（4－x）^2 y^2＝3（x^2－6x＋12）^2， ∴（4－x）^2 y^2＝（x^2－6x＋12）^2。
显然AF＝4－x＞0， 又x^2－6x＋12＝（x－3）^2＋3＞0，
∴（4－x）y＝x^2－6x＋12，
∴y＝（x^2－6x＋12）/（4－x）。
∵E在BC的延长线上，∴E、C不能重合。
而当E、C重合时，容易得出DE＝DC＝（√3/2）AB＝2√3。
此时∠DEF＝∠DCF＝30°，∴此时DF＝√3，∴此时EF＝CF＝√3DF＝3。
很明显，当E往BC的延长线方向移动时，F就往A的方向移动。
∴当E在BC的延长线上时，CF＞3。 自然，CF是不能够大于AC的，∴CF＜4。
即：x的取值范围是（3，4）。
综上所述，得：满足条件的解析式是y＝（x^2－6x＋12）/（4－x），且定义域为（3，4）。
∵∠EDF=60°，∴∠ADF+∠BDE=120°，
∵ΔABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，∴∠AFD+∠ADF=120°，
∴∠AFD=∠BDE，∴ΔADF∽ΔBED，∴AF/AD=BD/BE，AF=4-X，
∴BE=4/(4-X)，
由相似知：DF/DE=AD/BE，AD=BD，
∴DF/DE=BD/BE，又∠EDF=∠B=60°，
∴ΔDEF∽ΔBDE，∴ΔADF∽ΔDEF
∴EF/DE=DE/BE，DE^2=Y*4/(4-X)。
过E作EG⊥AB于G，BG=1/2BE=2/(4-X)，EG=2√3/(4-X)，
∴DG=BG-2=(2X-6)/(4-X)，
∴DE^2=DG^2+EG^2=(4X^2-24X+48)/(4-X)^2
Y=(X^2-6X+12)/(4-X)
保证所求出的线段>0,得x的范围为（3,4）.
如图在等边三角形abc中ab等于九厘米点p从点c出发沿cd边向点b一两两厘 ...
答：首先,AB=9cm,BC=12cm,CA=15cm,9的平方加上12的平方等于15的平方.所以这个三角形为直角三角形.B角为九十度角.由他们的速度和时间计算,BP=6cm,BQ=6cm,△BPQ为等腰直角三角形,角B为直角.可计算出,△BPQ的面积
如图十六在等边三角形abc中边ab上一点d作de垂直于bc垂足为点e边ac上...
答：∵∠AFD=∠CEF=90°-60°=30° ∴∠DFE=∠DEF=90°-30°=60°故△DEF为等边三角形.则直角三角形BED全等于直角三角形CFE,那么BE=CF=1/2EC,故EC=BC*2/3=AB*2/3=3*2/3=2
如图,已知等边△ABC,在AB上取点D,在AC上取点E,使得AD=AE,作等边△PCD...
答：解：连接BP，易证明△ACD≌△CPB则AD=BP，又∠RAB+∠BAC+∠QAE=180°，∴R，A，Q三点共线，又∠CBP=∠CAD=60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP=180°，∴R，B，P三点共线，而AQ=AE=AD=BP，∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP，由∠P=60°，∴△PQR是等边三角形，即P、Q、R是等边三角形的三个顶点 ...
如图,在等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点
答：(1)∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC=BC 又∵D、E、F是三边的中点 ∴DE、DF、EF为△ABC的中位线 ∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60° ∵△DMN是等边三角形 ∴∠MDN＝60°，DM=DN ∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN+∠NDF ∴∠MDF=∠NDE 在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE， DM=DN ∴△DMF...
已知:如图在等边△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且BD=AE,CD交BE于点O,DF...
答：在等边三角形ABC中AB=BC，角A=角ABC=60度 又因为 BD=AE 所以 三角形ABE全等于三角形BCD（SAS）所以 角ABE=角DCB 因为 角ABE+角EBC=角ABC=60度 所以 角DCB+角EBC=60度=角DOF 因为 DF垂直BE 所以 角DFO=90度 所以 角ODF=90-60=30度 ...
如图,在等边△ABC中,点D,E分别在AB,BC上,AD=BE,AE,CD相较于F,∠CEG=...
答：⑴因为AB=CA ∠ABE=∠CAD BE=DA 所以△ABE全等于△CAD 所以∠BAE=∠ACD 因为∠ACD+∠ACD=180-∠DAC=120 所以∠BAE+∠ACD=120 所以∠EFG=∠ADF=180-(∠BAE+∠ACD)=60 ⑵因为∠BAE+∠BEA=180-∠B=120 ∠CEG=∠BAE 所以∠CEG+∠BEA=120 所以∠FEG=180-(∠CEG+∠BEA)=180-120=60 ...
如图,在等边△ABC中,点D,E分别在AB,BC上,AD=BE,AE,CD相交于F,∠CEG=∠...
答：（1）∵在△ABE和△CAD中，∠B=∠CAD，AD=BE,AC=AB ∴△ABE全等于△CAD。故∠BAE=∠ACD 又∵∠BAE+∠EAC=60° ∴∠EAC+∠ACD=∠ADF=∠EFG=60° （2）∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C=60° ∵AD=BE=CF ∴AF=BD=CE ∴△ADF≌△BED≌△CFE ∴DF=ED=FE ∴△...
如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F...
答：解：∵△ABC为等边三角形，所以AB=AC=BC，∴∠B=∠BAC=60° 又在三角形BDA和三角形AEC中 AB=AC,∠DBA=∠EAC,BD=AE,∴△BDA≌△AEC。
已知;如图,在等边△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,且BD=AE,CD交BE于点O...
答：证明：∵⊿ABC是等边三角形 ∴AB=BC，∠EAB=∠DBC=60º又∵BD=AE ∴⊿ABE≌⊿BCD（SAS）∴∠ABE=∠BCD...① ∵∠ABE+∠EBC=∠ABC=60º∴∠DOF=∠BCD+∠EBC=60º∵DF⊥BE ∴∠DFO=90º，∠FDO=30º∴OD=2OF【30º直角边等于斜边的一半】...②↖(...
如图在三等边三角形abc中ab=4 ad垂直于bc垂足为d点o在边ab上且oa=3...
答：(1)连接CE,交AD于P,(2)BP+EP=CE=2√3
