数学的基本结构（张景中）
首先是集合。集合好像是一片空地、一张白纸、一群没有分派角色的演员。
一旦在集合的元素之间引进一些关系，集合的元素就有了自己的个性，根据关系的性质，集合上开始出现结构。
结构不是人主观上随意指派的，也不是在理念世界永恒存在的，它是总结大量感性经验上升为概念的结果。
布尔巴基学派认为，数学研究的基本结构即母结构有三种：
一种叫做代数结构。集合上有了运算，能够从两个元素生出第三个来，就叫做有了代数结构。前面我们刚刚谈过的群，就是一种基本的代数结构。
一种叫序结构。集合中某些元素之间有先后顺序关系，就叫做有了序结构。序结构也是应用极广的一种结构。数的大小关系，生物的亲子关系，类的包含关系，都是序关系。
还有一种叫拓扑结构。它用来描述连续性、分离性、附近、边界这些空间性质。
我们看到，这几种结构恰好都是现实世界的关系与形式在我们头脑中的反映：
代数结构——运算——来自数量关系；
讲序结构——先后——来自时间观念；
拓扑结构——连续性——来自空间经验。
然而这些东西一旦抽象成数学概念，成为脱离具体内容的*结构*，它就可以用到任何有类似性质的系统之中，而不一定与时空、数有关了。
一个系统可以具有几种结构。如实数系，它有加减与乘除，这是两种互相联系的代数结构，它有大小之分，这是序结构，它的连续性体现了拓扑结构。
基本结构可以加上一些公理派生出子结构，两种以上的结构可以加上联结条件产生复合结构。对于实数，如果a>b，则a+c>b+c，这就表明代数结构与序结构联系起来了。通过结构的变化、复合、交叉，形成形形色色的数学分支，表现为气象万千的数学世界。
当数学家遇到新的研究对象之后，他自然而然地会想，所遇的事物能不能放到某个已知的结构之中?如果可以，便马上动用这个结构的全部已知性质作为克敌制胜的武器。
历史上有过这样的例子：数学家长期不能理解复数，把它叫做虚数。后来发现，复数可以用平面上的点表示，这个发现相当于把复数的代数结构与平面的拓扑结构挂上了钩。复数的研究立刻有了实际意义，找到了应用，获得飞速发展。这表明，把新的陌生的对象纳入已知的结构之中是多么重要。
布尔巴基学派也承认，把数学看成研究各种结构—-这些结构以几种母结构为骨架不断地生长、发展——的科学，仍然是对数学现状的粗略的近似。
可以将数学看成是一个不断发展着的大城市，城市的建筑被街道分隔，又由街道联系起来。街道形成结构，建筑在结构的规范中生长。可是确有很多有特色的建筑，它的特点无法由街道的结构来解释。这就是结构观点的概括性。它无法关心的某些与结构关系不大的局部状况，有时也有重要的意义。例如，数论中的大量孤立的问题(如哥德巴赫问题)，就很难与已知结构很好地联系起来。
布尔巴基学派也主张，结构不应当是静止的，数学的发展可能会发现新的重要基本结构。因为数学是一门生命力旺盛的科学，对它不能“盖棺论定”，不会有终极的真理。
总的看来，布尔巴基学派把数学看成以结构为对象的科学，这种观点是与辩证唯物论一致的。因为：它否定了数学知识的先验观点，主张结构来源于人们实践的经验，正确地描述了数学中结构概念的抽象形成过程；它用整体的观点看数学，着眼于数学各部门的内在联系，说明了是什么使数学统一起来并使它有多样性；它用变化发展的观点看数学，主张结构不是一成不变的；它主张数学的真理性最终要用科学的实践来检验，用科学上的成功经验支持结构观点。
结构观点的产生，不是偶然的。布尔巴基学派自己指出：这是半个多世纪以来(即从19世纪末期到20世纪中期)数学进步的结果。其实也可以说是两千多年数学进步的结果。公理方法从欧几里得开始，到非欧几何产生之后，数学家开始有了现代的公理化观点。这种方法经过第三次数学危机的考验，特别是由于形式主义学派尔伯特的大力提倡，在数学实践中已生根开花，终于更上一层楼，形成了“结构”的观念。
一开始，人们追求公理的完备性或完全性。也就是说，在公理系统中，任何一个命题的成立与否，只能有唯一的解答。这样，具有完全性的公理系统，实质上只能描述一种对象。例如，欧几里得的几何公理，所描述的对象形式上尽管可以多种多样，但是本质上只有一种，这就使公理系统应用的广泛性受到削弱。去掉平行公理，几何公理系统失去了完备性，可是它的适用范围更广了。在去掉了平行公理的几何体系中，证明了的定理，在欧氏几何和罗氏几何中都成立。如果再去掉一些公理，用剩下的公理推证出来的定理，在欧氏、罗氏和黎氏几何中都成立，叫做“绝对几何”的定理。
数学家们发现，公理系统的不完全性不是坏事，而是好事。不完全，可以容纳更丰富的对象。公理是对所研究对象的限制。限制愈多，研究面愈窄；限制适当减少，研究成果的适用范围就更丰富了。
在这种认识的启迪下，数学家们研究了许多不完全的公理系统，如群、环、域、线性空间、概率论、测度论，等等。数学实践证明，对不完全公理系统的研究有强大的生命力，它促使人们对公理系统进行分解，分解成一些更基本——更不完全的公理体系，终于促成了结构观点的出现。
数学的基本结构(张景中)
答：一种叫做代数结构。集合上有了运算，能够从两个元素生出第三个来，就叫做有了代数结构。前面我们刚刚谈过的群，就是一种基本的代数结构。一种叫序结构。集合中某些元素之间有先后顺序关系，就叫做有了序结构。序结构也是应用极广的一种结构。数的大小关系，生物的亲子关系，类的包含关系，都是序关系。
组成是什么意思?
答：数学结构(mathematical structure)亦称关系结构，简称结构.现代数学的一个基本概念.各种数学对象的统称.它是对于各种数学对象，例如，有序集、线性空间、群、环、拓扑空间、流形等，用 *** 和关系的语言给出的统一形式.结构由若干 *** ，定义在 *** 上或 *** 间的一些关系，以及一组作为条件的公理...
几何课程改革的国际趋势是怎样的?
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答：1、正确理解和掌握数学的一些基本概念、法则、公式、定理,把握他们之间的内在联系。 由于数学是一门知识的连贯性和逻辑性都很强的学科,正确掌握我们学过的每一个概念、法则、公式、定理可以为以后的学习打下良好的基础,如果在学习某一内容或解某一题时碰到了困难,那么很有可能就是因为与其有关的、以前的一些基本...
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答：数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科.通过抽象化和逻辑推理的使用,由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生.数学家们拓展这些概念,为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理. 数学属性是任何事物的可量度属性,即数学属性是事物最基本的属性.可量度属性的存...
如何认识数学学习
答：第二阶段是全面开展研究和实践调整阶段,在实践中深入研究数学学习实验的目的、基本形式、实施策略、一般原则以及在改善学习方式上的一些突出效能。 第三阶段是研究总结阶段,主要是将研究过程中形成的认识、设计的方案、制作的实验软件和过程性经验资料,进行提炼和整理。 1. 对学生学习数学的心向、主要困难、方式的现状分...
