矩阵的秩为什么等于转置的秩？
因为A乘A的秩等于A的秩，然后任意矩阵的转置矩阵的秩与原矩阵的秩相同。
A的秩 = A的行秩 = A的列秩，A^T 是 A 的行列互换，所以 r(A) = r(A^T)。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。
1、设A为m*n的矩阵；
2、那么AX=0的解肯定是 AT*AX=0的解（AT表示A的转置）；
3、至于AT*AX=0 左右两边乘以XT，（注意查看是否符合矩阵乘法，前后列行相等才能相乘）；
4、上一步化成（AX）T*AX=0，可知AX=0，那么意味着AT*AX=0的解必定也是AX=0的解；
5、两个方程有相同的解，那么n-r（ATA）=n-r(A) 。
扩展资料：
矩阵的秩变化规律
(1)转置后秩不变
(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵
(3)r(kA)=r(A),k不等于0
(4)r(A)=0 <=> A=0
(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)
(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))
(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)
参考资料：百度百科-矩阵的秩
楼上在乱回答什么，数学的教育任重而道远
矩阵的秩指的是非零子式可以取到的最大阶数
对于矩阵A而言，如果它的秩是r，那么意味着A的最大非零子式的阶数是r，换句话说就是矩阵A里面最大可以取到一个r阶的非零子行列式D，至于r+1阶甚至更大阶数的子行列式都是零
理解了矩阵秩的概念，来考虑下矩阵A的转置A^T的秩是什么情况
要注意两点1——在A^T中取得子行列式恰好是A中某个子行列式的转置；2——反过来A中子行列式也是A^T中某个子行列式的转置
先看第二点——那这样的话已知A里面最大可以取到一个r阶的非零子行列式D，而A^T中存在着某个子行列式的转置等于这一个r阶的非零子行列式D，再加上行列式的转置不改变数值，也就说是A^T中所谓的这某个子行列式D^T也是非零的，而且还是r阶的，此时就可以判断出A^T中秩至少是r
再看第一点——如果A^T中秩比r大，就是说A^T可以取到一个阶数比r大的非零子行列式F，但是呢，A^T中取得子行列式恰好是A中某个子行列式的转置，上面F恰好是A中某个子行列式的转置，再加上行列式的转置不改变数值，也就说是A中存在着一个阶数比r大的非零子行列式F^T，这就与A的秩是r矛盾了
综合来看，A^T中秩至少是r，又不能大过r，那就只能是r咯。因此可以下结论，矩阵的秩等于转置的秩
我说的可能有点啰嗦，但是希望你能想的彻底
矩阵的秩等于矩阵的转置吗?
答：等于，因为A的转制乘A逆的转制＝（A逆乘A）的转制＝E的转制＝E，所以A的转制的逆等于A逆的转制。设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i行j列的元素是a(i,j)，即：A=a(i,j)。定义A的转置为这样一个n×m阶矩阵B，满足B=b(j,i)，即a(i,j)=b (j,i)（B的第i行第j列元素是A的...
为什么矩阵的秩大于等于矩阵的转置?
答：r(A,B)>=r(B)>=r(AB)r(AB)与r(A+B)没有直接关系。矩阵B可逆，AB的秩等于A的秩，那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵，而左乘初等阵就是对B进行初等行变换，所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积，同理秩不变。矩阵的秩 定理：矩阵...
如何证明线性方程组的系数矩阵的秩等于它的转置矩阵秩
答：η1,η2.ηk 是基础解系.所以η1,η2.ηk线性无关.（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）=（η0,η1,η2.ηk ）所以证明（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）无关也就是证明（η0,η1,η2.ηk ）无关,我们知道,如果a1,a2.an无关,而a1,a2.an,β相关,则β可以由a1,a2.an...
线性代数中,设a等于矩阵A的秩,b等于矩阵A的转置的秩,为什么a等于b?
答：这是矩阵的秩的性质.A的秩 = A的行向量组的秩 = A的列向量组的秩 如果把a看作A的行向量组的秩, 那么b就是A的列向量组的秩, 所以它们相等.满意请采纳^_^
一个矩阵的转置矩阵与它自身具有相同的秩
答：证明：矩阵A的共轭转置矩阵与A的秩相同 这个可以直接用定义来证明，A^H的行秩和A的列秩相同 也可以用极大非零子式来证明 但是1楼的证明完全错误，从存在一个A满足r(A)=m, r(A^T)=m+1无法推出r((A^T)^T)也有同样性质。一个矩阵和它的转置相乘后的矩阵的秩等于这个矩阵的秩 怎么证 ...
矩阵的秩和矩阵转置的秩是否相等呢?
答：不管在什么情况下抄矩阵的秩和其转置的秩都相等，如果逆矩阵存在，即秩等于，那么这四个秩都相等，如果秩等于n-1那么逆矩阵不存在，伴随的秩等于1，如果矩阵的秩小于n－1那么伴随的秩为零，当然逆矩阵也不存在。这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A...
如何用矩阵的秩的定义证明一个矩阵与其转置矩阵的秩相等。
答：矩阵A的任一个k阶子式M A转置后在A^T的位置是行列互换 所以恰对应 M^T 所以A有非零的r阶子式的充要条件是A^T有非零的r阶子式 A的所有r+1阶子式都等于0的充要条件是A^T所有r+1阶子式都等于0 故 r(A) = r(A^T).
线性代数:转置矩阵的秩和原矩阵相同吗?
答：是相同的！因为D^T=D(行列式转转置值不变)，A的最高阶的不等于零的子式的转置就是A^T的最高阶的不等于零的子式.
...秩=矩阵的秩。那么矩阵乘(矩阵的转置)的秩是什么?求证明
答：矩阵乘矩阵的转置的秩=矩阵的秩。证明如下：设 A是 m×n 的矩阵 可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A)1、Ax=0 是 A'Ax=0 的解。2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0，故两个方程是同解的。同理可得 r(AA')=r(A')另外，有...
矩阵转置的秩是什么意思?
答：矩阵转置是指将一个矩阵的行和列互换，得到一个新的矩阵。在矩阵转置后，矩阵的秩不一定会改变，但是矩阵的性质和特点可能会发生变化。首先，我们需要了解矩阵转置的定义和性质。设矩阵 $A=[a_{ij}]{m \times n}$，其转置矩阵为 $A^T=[b{ij}]{n \times m}$，其中 $b{ij}=a_{ji}$。
