高一寒假数学：什么叫重根？

数学中的重根是什么？~

在数学中，重根是指一个多项式方程在解的集合中，某个根出现了多次。当一个多项式方程中的一个根重复出现时，这个根就被称为重根。
更具体地说，对于一个 n 次多项式方程，如果某个复数根 r 出现了 k 次 (k ≥ 2)，那么我们称 r 是方程的一个 k 重根。这意味着在多项式方程的因式分解中，可以将多项式写成 (x - r)^k 的形式，其中 x - r 是一个一次因子，而 k 表示其重数。
举个例子，考虑多项式方程 f(x) = (x - 1)(x - 1)(x + 2)(x - 3)^3。在这个方程中，根 1 出现了两次，根 -2 和根 3 分别出现了一次和三次。所以，根 1 是二重根，根 -2 是一重根，根 3 是三重根。

重根在代数学、微积分和方程求解等领域中具有重要的作用，并且在多项式的因式分解、曲线的切线与极值等问题中经常涉及到重根的概念。
数学中的重根的计算方法

计算一个多项式方程的根以及它们的重数通常需要使用代数学知识和相关的数值计算方法。下面是一些常见的计算重根的方法：
1. 代数方法：对于一个高次多项式，可以使用代数方法来计算其根的重数。首先，求出多项式的根，并将其进行因式分解。然后，通过观察因式分解中每个因子的幂次，确定根的重数。例如，若一个根在因式分解中出现了两次，则说明它是一个二重根。
2. 导数方法：使用微积分中的导数概念可以帮助计算多项式函数的重根。对于一个多项式函数 f(x)，计算其导数 f'(x)。如果某个根 r 是 f(x) 和 f'(x) 的公共根，那么它就是一个重根。继续计算 f'(x) 的根，重复这个过程直到找到所有的重根。
3. 数值方法：如果你只关心多项式方程的数值解而不需要精确的符号表示，可以使用数值计算方法来估计根和根的重数。例如，使用数值计算软件或算法（如牛顿迭代法、二分法等）可以逼近多项式的根，并通过观察根的邻域来判断重数。
计算重根可能需要一定的数学背景和计算工具的支持。对于复杂的多项式方程，计算重根可能非常困难甚至不可行。在实际应用中，通常使用计算机代数系统或数值计算软件来求解多项式方程的根和重根。

当涉及到计算重根时，我们可以考虑以下例题：
例题：计算多项式方程 f(x) = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4 的根以及它们的重数。
解法：
为了计算多项式方程的根和重数，我们可以使用因式分解和导数方法。
1. 因式分解：
首先，我们可以尝试对多项式进行因式分解，看看根的重数。
f(x) = (x - 1)(x - 1)(x - 2 + i)(x - 2 - i)
从因式分解可知，多项式的根包括两个重根 r = 1 和两个互为共轭复数的根 r = 2 ± i。其中，根 r = 1 是一个二重根，而根 r = 2 ± i 是单重根。
2. 导数方法：
我们还可以计算多项式 f(x) 的导数 f'(x)，然后找到公共根来确定重根。
f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 12
计算 f'(x) 的根，我们发现只有一个公共根 x = 1。这意味着根 x = 1 是方程 f(x) 和 f'(x) 的公共根，因此，它的重数是至少二重。
综上所述，多项式方程 f(x) = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4 的根及其重数为：
- 根 r = 1 是一个二重根。
- 根 r = 2 是一个单重根。
- 根 r = 2 ± i 是两个单重根。
这个例题展示了如何通过因式分解和导数方法来计算多项式方程的根以及它们的重数。

比如在一元二次方程有两个根，都是单根，只有一个根时，这个根就是二重根

重根，字面上就是重复的根
打个比方，一元次方程，一般情况下是有两根，而若恰好这两根相等，都是X，那么X就可以说是这个方程的重根了
例（x-1）(x-1)=0,这个一元二次方程的根都是1，1就是它的重根
嗯，不懂可追问

当一元n(n≥2)次方程的根有两个或两个以上相等时，称这些根为重根。相等的根的个数称为“重数”。如1是方程x3-3x2+3x-1=0的三重根。

楼主您好！
对代数方程，即多项式方程，方程P(x) = 0有根x = t则说明P(x)有因子(x - t)，从而可做多项式除法P1(x) = P(x) / (x-t)结果仍是多项式。若P1(x) = 0仍以x = t为根，则x = t是方程的重根。
望楼主采纳。

　　

方程P(x) = 0有根x = t则说明P(x)有因子(x - t)，从而可做多项式除法P1(x) = P(x) / (x-t)结果仍是多项式。若P1(x) = 0仍以x = t为根，则x = t是方程的重根

X^2+2X+1=0
X1=X2=-1
这时方程两个根X1，X2相等
即该方程有重根

重根是什么
答：重根是一种数学概念，指的是方程或函数的根的重合次数。接下来详细解释这一概念：在数学中，当我们谈论方程的根时，我们指的是能使方程等于零的数。然而，有时某些数不仅仅是作为单个根存在，而是多次满足方程的条件，这种现象被称为根的重叠或重根。简单来说，如果一个数作为方程的解出现多次，那么它...

数学方程中什么是重根
答：事实上，由代数基本定理知在复数域内P(x)总可以分解为一次项的乘积，得到的P(x)的分解式中，(x - t)的次数就是根x = t的重数。如：(x - 1)^3 * (x - 5) = 0，1是3重根，5是1重根。对于一般的方程（不一定是多项式的），定义则复杂得多。在复变函数的理论中，一般对非0解析函数...

什么是单根、重根?
答：x) = 0也以x =a为根，则也能说明x= a是方程f(x)=0的重根。6、单根就是有且只有一个解。重根：有两个解，且这两个解相等。 数学上，n次单位根是n次幂为1的复数。 它们位于复平面的单位圆上，构成正n边形的顶点，其中一个顶点是1。参考资料来源：百度百科-特征根 百度百科-重根 ...

什么是重根(数学上)?那个“重”读第几声? 回答得简单干脆正确才能得分...
答：重复的根 （两个相同的根）第二声

什么是特征根和重根?
答：重根是代数方程中的一个概念，特指多项式方程重数大于等于2的根。具体来说，对于方程f(x) = 0，如果x = a是方程的一个根，那么f(x)就有因子(x - a)，从而可以做多项式除法P(x) = f(x) / (x-a)，结果仍然是多项式。如果P(x) = 0仍以x = a为根，那么x = a就是方程的重根。此外...

单根和重根怎么定义
答：单根有且只有一个解，重根有两个解，且这两个解相等。数学上，n次单位根是n次幂为1的复数，它们位于复平面的单位圆上，构成正n边形的顶点，其中一个顶点是1。对代数方程即多项式方程，方程f(x)=0有根x=a则说明f(x)有因子(x-a)，从而可做多项式除法P(x)=f(x)/(x-a)结果仍是多项式。若...

数学中,什么是单根,什么是重根
答：比如在一元二次方程有两个根，都是单根，只有一个根时，这个根就是二重根

一道简单高中数学题
答：应该算两个。这种根叫重（chóng）根。重，就是重复的意思。在这里，2^(1/2)这个根重复两次，叫二重根。重复出现几次就叫几重根。例如 (x-1)^3 (x+1)^2=0,1是三重根，-1是二重根。

二重根有什么根号下面的根号怎么算
答：二重根，是指在代数方程的解中出现两次的根。在高等数学中，所谓重根就是指方程（当然是指n次（n>=2））根，但是这些根可能有几个是一样的，就把这几个一样的叫做重根，有几个就叫做几重根。比如说，方程（X-1）^2=0,这个方程可以写成是（X-1）*（X-1）=0，所以X1=X2=1，就把X=1...

什么是单重根、双重根、 n重根?
答：在代数学中，根是多项式方程中使方程成为零的解。多项式方程的根可以具有不同的重数，也称为根的重数。根的重数指的是根在方程中出现的次数。根的重数对于理解多项式方程的性质和解的结构至关重要。在代数学中，通常将根的重数分为三类：单重根、双重根和n重根。第一部分：单重根 单重根是指多项式...