初等数论中的几个主要定理
初等数论四大定理分别是：威尔逊定理、欧拉定理、剩余定理（孙子定理）、费马小定理
威尔逊定理：
当且仅当p为素数时，有：(p-1)!≡-1(mod p)
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欧拉定理：
若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n)=1，则：a^φ(n)≡1(mod n)
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剩余定理（孙子定理）：
若有一些两两互质的整数m1,m2,…,mn，则对任意的整数a1,a2,…,an，以下联立同余方程组对模m1,m2,…,mn有公解：
x≡a1(mod m1)
x≡a2(mod m2)
……
x≡an(mod mn)
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费马小定理：
若p是质数，且(a,p)=1，则：a^(p-1)≡1(mod p)
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基础知识
定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。并定义中和互质的数的个数，称为欧拉（Euler）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。
引理：；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。
定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。
定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。
定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。
定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数，一次同余方程组，必有解，
定理5：（拉格郎日定理）设是质数，是非负整数，多项式是一个模为次的整系数多项式（即 ），则同余方程至多有个解（在模有意义的情况下）。
定理6：若为对模的阶，为某一正整数，满足，则必为的倍数。
初等数论有以下几部分内容：
1.整除理论。引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。这一理论的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、欧几里德的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。
2.同余理论。主要出自于高斯的《算术研究》内容。定义了同余、原根、指数、平方剩余、同余方程等概念。主要成果：二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理（即中国剩余定理）等等。
3.连分数理论。引入了连分数概念和算法等等。特别是研究了整数平方根的连分数展开。主要成果：循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。
4.不定方程。主要研究了低次代数曲线对应的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了四次费马方程的求解问题等等。
5.数论函数。比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。
6.高斯函数。
初等数论是一个理论层次
第一个层次叫做数学概念，是反映对象的本质属性的思维形式。人类在认识过程中，从感性认识上升到理性认识，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，就成为概念。表达概念的语言形式是词或词组。科学概念，特别是数学概念要求更加严格，至少必须具备三个条件：专一性，精确性，可以检验。例如：”孪生素数“就是一个数学概念。
第二个层次叫做数学命题，数学命题是对一系列数学概念之间的关系作出判断的句子。一个命题要么真，要么不真（这由逻辑中的排中律保证）。真命题包含定理，引理，推论，事实等。命题既可以是存在性命题（表述为”存在......."），也可以是全称命题（表述为“对于一切....."）。
第三个层次叫做数学理论，把方法，公式，公理，定理，原理，组合成为一个体系叫做数学理论。例如“初等数论”，由公理（例如等量公理），定理（例如费马小定理），原理（例如抽屉原理，一一对应原理），公式等组成。
在数学证明时，全称命题常常不能通过枚举法来判断真伪，这是因为数学有时面对的是无穷多个对象，永远不可能一一枚举出每一种情况。不完全归纳法在数学中是不可行的，数学只承认演绎逻辑（数学归纳法，超限归纳法等均属于演绎逻辑）。
初等数论四大定理分别是什么?
答：初等数论四大定理分别是：威尔逊定理、欧拉定理、剩余定理（孙子定理）、费马小定理 威尔逊定理：当且仅当p为素数时，有：(p-1)!≡-1(mod p)百度百科链接：http://baike.baidu.com/view/104247.htm 欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n)=1，则：a^φ(n)≡1(mod n)百度百科链接：...
初等数论中的几个主要定理
答：1.整除理论。引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。这一理论的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、欧几里德的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。2.同余理论。主要出自于高斯的《算术研究》内容。定义了同余、原根、指数、平方剩余、同余方程等概念。主要成果：二次互反律、欧拉定理、...
初等数论里最简单的定理有哪些
答：定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1,则.定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有.定理推论：设为质数,是与互质的任一整数,则.定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数,则.定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数,那么对于任意整数,一次同余方程组,必有解,
初等数论(三): 算术基本定理
答：让我们深入探讨初等数论中的基石——互素、素数、理想积与唯一分解定理，以及数论函数和素理想的世界。由才华横溢的艺术家Zack在老福特带来的封面画作，为我们揭示了这些概念的奥秘。互素与素数的魔力 互素，简单来说，就是没有大于1的共同因数，这一概念揭示了素数的独特性质：它们仅能被1和自身整除。
费马小定理在数论中的地位
答：费马小定理，作为初等数论中的四大定理之一，它在数论领域的地位不容忽视。这四大定理分别是威尔逊定理、欧拉定理（更为具体的是欧拉函数）、中国剩余定理，以及费马小定理，它们各自扮演着独特的角色，共同构建了数论理论的基础框架。费马小定理的核心内容表明，对于任意一个质数p和任意一个不是p的倍数的...
什么叫欧拉判别式
答：欧拉定理 1、初等数论中的欧拉定理：对于互质的整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明：首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x...
初等数论初等数论内容
答：初等数论是一门基础且深入的数学分支，它包含了多个关键领域：首先，整除理论是其基石，通过探讨整除、因数、倍数、质数和合数等基本概念，我们有了一系列重要定理，如唯一分解定理揭示了整数的分解规律，裴蜀定理和欧几里德的辗转相除法则为我们处理整数关系提供了工具，算术基本定理和素数无穷性证明则深化了...
算术基本定理
答：算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究。它所体现的唯一因子分解的思想，在现代交换环理论中起着非常重要的作用。唯一因子分解的思想从本质上讲是指以下两种性质：“存在性和唯一性”。所谓“存在性”就是指一个元素可以分解为有限...
费马小定理的相关理论
答：费马小定理是初等数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理（数论中的欧拉定理），中国剩余定理(又称孙子定理)和费马小定理）之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一个特殊情况（即 ，见于词条“欧拉函数”）。卡迈克尔数如上所述，中国猜测只有一半是正确的，符合中国猜测但不...
初等数论
答：5、欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质，即(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)二、证明：这个问题需要分类讨论（按除以3的余数）（1）当a≡0(mod3)时，a^2≡0(mod3)，则a^2+a+1≡0+0+1≡1(mod3)（2）当a≡1(mod3)时，a^2≡1(mod3)，则a^2+a+1≡1+1+1≡3...
