如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC=4，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为
解：（1）∠AOC=60°；（2）CP与⊙O相切，∠PCO=90°，cos60°= ，PO=8。
（1）60°; （2）证明见解析; （3） 或 或 或 . 试题分析：（1）由OA、OC都是⊙O的半径知，△AOC是等腰三角形，然后根据等边三角形的判定和性质求得∠AOC =60°；（2）由 求出PA的长，从而得出∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO，根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠PCO=90 0 ，进而证得结论;（3）如图，当S △ MAO =S △ CAO 时，动点M的位置有四种:①作点C关于直径AB的对称点M 1 ，连接AM 1 ，OM 1 ,②过点M 1 作M 1 M 2 ∥AB交⊙O于点M 2 ，连接AM 2 ，OM 2 ，③过点C作CM 3 ∥AB交⊙O于点M 3 ，连接AM 3 ，OM 3 ，④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．试题解析：（1）在△OAC中，∵OA=OC（⊙O的半径），∠OAC=60°，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）.又∵∠OAC=60°，∴△AOC是等边三角形. ∴∠AOC=60°.（2）如图,作PA边上的高CE,∵△AOC是等边三角形, OC=4，∴CE= .∵ ，∴ . ∴ .∴PA="AC=AO=4." ∴∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO.∴∠PCO=90 0 .又∵OC是⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线. （3）如图，①作点C关于直径AB的对称点M 1 ，连接AM 1 ，OM 1 ．此时S △ M1AO =S △ CAO ，∠AOM 1 =60°.∴弧AM 1 = .∴当点M运动到M 1 时，S △ MAO =S △ CAO ，此时点M经过的弧长为 .②过点M 1 作M 1 M 2 ∥AB交⊙O于点M 2 ，连接AM 2 ，OM 2 ，此时S △ M2AO =S △ CAO ．∴∠AOM 1 =∠M 1 OM 2 =∠BOM 2 =60°.∴弧AM 2 = .∴当点M运动到M 2 时，S △ MAO =S △ CAO ，此时点M经过的弧长为 ．③过点C作CM 3 ∥AB交⊙O于点M 3 ，连接AM 3 ，OM 3 ，此时S △ M3AO =S △ CAO , ∴∠BOM 3 =60°.∴弧AM 3 = .∴当点M运动到M 3 时，S △ MAO =S △ CAO ，此时点M经过的弧长为 .点M运动到C时，M与C重合，S △ MAO =S △ CAO ，此时点M经过的弧长为 .
（1）解：∵AB为⊙O的直径，AC为弦，OC=4，∴CO=AO=4，
又∵∠OAC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC的度数为60°；
（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，
∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，
∴AD=DO=2，
∴CD=
1）60°; （2）证明见解析; （3）或或或. 【解析】 试题分析：（1）由OA、OC都是⊙O的半径知，△AOC是等腰三角形，然后根据等边三角形的判定和性质求得∠AOC =60°； （2）由求出PA的长，从而得出∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO，根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠PCO=900，进而证得结论; （3）如图，当S△MAO=S△CAO时，动点M的位置有四种:①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1,②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长． 试题解析：（1）在△OAC中，∵OA=OC（⊙O的半径），∠OAC=60°，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）. 又∵∠OAC=60°，∴△AOC是等边三角形. ∴∠AOC=60°. （2）如图,作PA边上的高CE, ∵△AOC是等边三角形, OC=4，∴CE=. ∵，∴. ∴.∴PA=AC=AO=4. ∴ ∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO. ∴∠PCO=900. 又∵OC是⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线. （3）如图， ①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1． 此时S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°.∴弧AM1=. ∴当点M运动到M1时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为. ②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2， 此时S△M2AO=S△CAO．∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°.∴弧AM2=. ∴当点M运动到M2时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为． ③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3， 此时S△M3AO=S△CAO, ∴∠BOM3=60°.∴弧AM3=. ∴当点M运动到M3时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为. 点M运动到C时，M与C重合，S△MAO=S△CAO， 此时点M经过的弧长为. 考点：1.动点问题;2.等腰三角形的性质;3. 等边三角形的判定和性质;4.切线的判定;5. 弧长的计算;6.分类思想的应用. (2010?溧水县二模)如图,在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC是弦,OC=4,∠OAC=... 如图1,在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC是弦,OC=4,∠OAC=60度. 在圆o中,AB为圆o的直径,AC是弦,OC=4,∠OAC=60度 如图,AB是⊙O的直径,AB=2,点C在⊙O上,∠CAB=30°,D为BC的中点,P是直径... 如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上.若∠AOD=30°,则∠BCD的度数是 ° 如图,AB是圆O的直径,点D在圆O上,OC平行AD交圆O于E,点F在CD延长线上,且... 如图,AB是⊙O的直径,C,D在⊙O上,CD=AD,分别延长CD,BA相交于点E,且AE=... 如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上, AB=5,BC=3, (1)若OE⊥AC于点E,求OE... 如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一动点(不与A、B重合),CD⊥AB于D,∠OC... 如图,AB为圆O的直径,C是圆O上一点,点D在AB的延长线上,且角DCB=角A |
