初等数论里最简单的定理有哪些？
初等数论四大定理分别是：威尔逊定理、欧拉定理、剩余定理（孙子定理）、费马小定理
威尔逊定理：
当且仅当p为素数时，有：(p-1)!≡-1(mod p)
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欧拉定理：
若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n)=1，则：a^φ(n)≡1(mod n)
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剩余定理（孙子定理）：
若有一些两两互质的整数m1,m2,…,mn，则对任意的整数a1,a2,…,an，以下联立同余方程组对模m1,m2,…,mn有公解：
x≡a1(mod m1)
x≡a2(mod m2)
……
x≡an(mod mn)
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费马小定理：
若p是质数，且(a,p)=1，则：a^(p-1)≡1(mod p)
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初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。
初等数论有以下几部分内容：
1.整除理论。引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。这一理论的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、欧几里德的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。
2.同余理论。主要出自于高斯的《算术研究》内容。定义了同余、原根、指数、平方剩余、同余方程等概念。主要成果：二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理（即中国剩余定理）等等。
3.连分数理论。引入了连分数概念和算法等等。特别是研究了整数平方根的连分数展开。主要成果：循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。
4.不定方程。主要研究了低次代数曲线对应的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了四次费马方程的求解问题等等。
5.数论函数。比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。
6.高斯函数。
初等数论是一个理论层次
第一个层次叫做数学概念，是反映对象的本质属性的思维形式。人类在认识过程中，从感性认识上升到理性认识，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，就成为概念。表达概念的语言形式是词或词组。科学概念，特别是数学概念要求更加严格，至少必须具备三个条件：专一性，精确性，可以检验。例如：”孪生素数“就是一个数学概念。
第二个层次叫做数学命题，数学命题是对一系列数学概念之间的关系作出判断的句子。一个命题要么真，要么不真（这由逻辑中的排中律保证）。真命题包含定理，引理，推论，事实等。命题既可以是存在性命题（表述为”存在......."），也可以是全称命题（表述为“对于一切....."）。
第三个层次叫做数学理论，把方法，公式，公理，定理，原理，组合成为一个体系叫做数学理论。例如“初等数论”，由公理（例如等量公理），定理（例如费马小定理），原理（例如抽屉原理，一一对应原理），公式等组成。
在数学证明时，全称命题常常不能通过枚举法来判断真伪，这是因为数学有时面对的是无穷多个对象，永远不可能一一枚举出每一种情况。不完全归纳法在数学中是不可行的，数学只承认演绎逻辑（数学归纳法，超限归纳法等均属于演绎逻辑）。
定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。并定义中和互质的数的个数，称为欧拉（Euler）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。
引理：；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。
定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。
定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。
定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。
定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数，一次同余方程组，必有解，
定理5：（拉格郎日定理）设是质数，是非负整数，多项式是一个模为次的整系数多项式（即 ），则同余方程至多有个解（在模有意义的情况下）。
定理6：若为对模的阶，为某一正整数，满足，则必为的倍数。
如何科普初等数论知识?
答：同余理论：同余理论是初等数论的一个重要部分，它研究的是整数除法的余数的性质。例如，我们说“7除以3余1”，这就是一个同余的例子。欧几里得算法：这是一个用于计算两个整数的最大公因数的算法，它的基本原理是“较大数 = 较小数 * 商 + 余数”。费马小定理：这是一个关于素数和其倍数的定理，...
初等数论初等数论内容
答：初等数论是一门基础且深入的数学分支，它包含了多个关键领域：首先，整除理论是其基石，通过探讨整除、因数、倍数、质数和合数等基本概念，我们有了一系列重要定理，如唯一分解定理揭示了整数的分解规律，裴蜀定理和欧几里德的辗转相除法则为我们处理整数关系提供了工具，算术基本定理和素数无穷性证明则深化了...
【初等数论】整除理论知识概要
答：素数是只有平凡因数（1和自身）的整数，而合数则不然。比如，若素数 ，则除了1和自身，没有大于 的因数。2.3 算术基本定理与最大公约数与最小公倍数 算术基本定理揭示了任何整数的唯一素数分解，而最大公约数与最小公倍数则提供了整数关系的重要工具。三、带余除法与辗转相除法3.1 带余除法：两...
求初等数论大神
答：没想到什么能用的定理，但可以用笨方法证明，首先列明基础条件，1的立方=7*0+1，2的立方等于7*1+1=8，3的立方=7*4-1=27，4的立方=7*9+1=64，5的立方=7*18-1=126，6的立方=7*31-1=216。而7的倍数7k的立方一定还是7的倍数不用证明。假设对任何非7倍数a=7x+b（b为小于7的正整数...
什么叫欧拉判别式
答：欧拉定理 1、初等数论中的欧拉定理: 对于互质的整数a和n,有a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 证明: 首先证明下面这个命题: 对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数,即n的一个化简剩余系,或称简系,或称缩系),考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod ...
常用初等数论小知识
答：1.求有关初等数论的所有知识``` 初等数论 研究数的规律,特别是整数性质的数学分支。 是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法,主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等。 古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。他与他的学派致力于一些特殊整数(如亲和数、完全数、多边形数)及特殊不定方程的...
初等数论证明题 数论定理
答：m=2时Beatty定理比较简便的证明方法是：计算[nx]<=k的n的个数，它等价于nx<k+1，那么这样的n就有[(k+1)/x]个 同理，[ny]<=k的n的个数是[(k+1)/y]个 于是，数列[nx]和数列[ny]中不超过k的个数总和是[(k+1)/x]+[(k+1)/y]个 而x,y是无理数，所以 (k+1)/x - 1 +...
初等数论证明题 数论定理
答：再由1/x+1/y = 1可得k = k/x+k/y < n+m < (k+1)/x+(k+1)/y = k+1.这与k, m, n均为整数矛盾, 故两数列没有公共元素.再证明没有遗漏.假设正整数k在两数列中均不出现.取n为使[nx] > k的最小正整数, 则有k > [(n-1)x].可改写为[nx] ≥ k+1, k-1 ≥ [(...
潘氏兄弟的《初等数论》中的一个定理很让我不以为然,请老师或学过的高 ...
答：a>=3,n奇，(c,2^a)=1,则 x^n=c mod 2^a必有解.(c,2^a)=1即表明c是2^a的缩系中的任意元素.而(c,2^a)=1等价于”c奇”.果然,定理4和5仅仅在于引入了2^n的缩系这一概念.但这并无必要.因为任意奇数均与2^n的缩系中一个数同余.上面的内容我并未加以证实.定理7我更是越看...
