ACM约瑟夫环数学问题
约瑟夫环数学算法的优化 摘要：分析了约瑟夫环的模拟算法并推广了Knuth递归算法，并递归算法上进一步改进，在一定范围内，让算法的复杂度与约瑟夫环的人数无关。关键词：约瑟夫环，算法，递归 1、引言约瑟夫环问题来源于公元6世纪犹太人的反罗马起义，这个问题是如此流行，以至于几乎所有的编程入门和算法书籍都会提到这个问题，以作为数据结构或模拟算法的经典入门题。这个问题的一般形式可描述为：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列，求最后一个出列人的编号。 2、原始的算法：模拟求解O(N*M) 如果模拟整个过程，这种普遍的解法即：用一数组或是链表去表示约瑟夫环，设计两重循环，内层作m次循环，既每扫描m个数之后，将其从数组、或链表中将其删除，以表示从约瑟夫环中去处相应的人；外循环重数为n-1，表示总共要删除n-1个数，而剩下的最后一个数就是所求的解。 但不管数据结构的表示方法如何，这种算法效率都是O(m*n)。这种算法的问题在于：它模拟了这个问题的整个过程，就是说在n或m很大的情况下，计算出结果需要较长的时间；它没有从数学的角度上去优化，而实际上这个问题往往只要求得到最终的解，并不要求中间的过程带来的而外开销。 3、递归的力量：优化到O(N) 在Donald E. Knuth的《具体数学》中，对m=2的情况使用了递归的解决方法，并推出了一个常数表达式，使得此种情况下，算法的复杂度为常量。同时，这种思路也可以应用于n>2 的情况，但无法得出常数表达式，推广后的递归算法具体的思路如下：当n个人围成一圈并以m为步长第一次报数时，第m个人出列，此时就又组成了一个新的，人数为n-1的约瑟夫环，要求n个人的约瑟夫环问题的解，就依赖于求n-1个人的约瑟夫问题的解，要求n-2个人的约瑟夫问题的解，则依赖于求n-2个人的约瑟夫换问题的解，依次类推，直至求1个人的时候，该问题的解。让我们回到问题的原始描述中，m是一个固定的值，即步长；n为一个圈的总人数，k为这个圈第一个报数的人的编号，显然，n在每次递归过程中会减1，而k则可以由m,n来唯一确定，这样的话，当n=1的时候，我们所确定的当前的k值，就是我们所要求的解。那么，我们可列出如下的递归式： P(n, m, k)=1 (i = 1)P(n, m, k)=(P(i - 1, m, k ) + m - 1) % n + 1; (i > 1) （此处m需先减1是为了让模n的值不为0） 这样，我们可以很轻松的将此算法具体实现。这里给出它的递推表示法以方便进下一步讨论（C言描述）： long Josephus(long n,long m,long k) //参数分别为：人数，出圈步长，起使报数位置,...{ for (long i = 1; i =n时，用方程求出的值不能减少循环重数，算法复杂度仍为O(n)。 参考文献[1] Grahm, Knuth, Patashnik . Concrete Mathematics.Addison Wesley. 1984[2 ]T.H.Cormen, C.E.Leierson, R.L.Rivest, and Stein. Introduction to Algorithms. MIT Press. 2001[3] 严蔚敏,吴伟明.数据结构.清华大学出版社.1997 最后的说明,源代码在细节上有些错误的,仅供交流讨论Trackback: http://tb.blog.csdn.net/TrackBack.aspx?PostId=1906316
这个公式算不出来
巧合吧 ？ 比如说 n = 27 ， 化为二进制就是 11011 ， 循环之后就是 11011 。可是答案不是 （ 11011 ）2 哦 。容斥
ACM约瑟夫环数学问题
答：巧合吧 ？ 比如说 n = 27 ， 化为二进制就是 11011 ， 循环之后就是 11011 。可是答案不是 （ 11011 ）2 哦 。
如何准备互联网公司面试(算法相关)
答：我当时是时间比较充裕的时候看完的。纯突击,大家就可以跳过了。但是,看完真的很有用。比如说,你们就可以跟面试官扯约瑟夫环的构造解了(这道题我觉得80%会遇到),直接推推公式,就不用写模拟代码了。《组合数学》也是,很多笔试一般会有些小智力题。不过,其实一般的题目,不看这本书也可以搞定。所以,这两本仅供参...
c++练习题
答：1.if (a > b && a > c)max = a;else if (b > a && b > c)max = b;else max = c;2.while ( cin >> amount){ amt = amount / 10;switch (amt){ case 0: pay = amount * PRICE; cout << pay << endl; break;case 1: pay = amount * PRICE * 0.9; cout << ...
全球性著名奖项有哪些
答：新闻普利策新闻奖。1917年根据美国报业巨头约瑟夫·普利策(JosephPulitzer)的遗愿设立,20世纪七八十年代已经发展成为美国新闻界的一项最高荣誉奖,现在,不断完善的评选制度已使普利策奖被视为全球性的一个奖项。普利策奖在每年的春季,由哥伦比亚大学的普利策奖评选委员会的14名会员评定,5月由哥伦比亚大学校长正式颁发。数学菲...
