非周期信号及连续谱
周期信号，频率就一个或者几个点，比如正弦信号，就一个频率。
周期信号频谱的特点是：
1、离散性：频谱谱线是离散的。
2、谐波性：谱线只出现在基频整数倍的频率处。
3、收敛性：谐波幅值总的趋势随谐波次数的增加而降低。
当信号的脉宽不变，信号周期变大时，相邻谱线的间隔变小，频谱变密。如果周期无限增长，那么，相邻谱线的间隔将趋近于零，周期信号的离散谱就过滤到非周期信号的连续谱。
另外频谱中各频率点谱线的幅值与脉宽τ也有关，且当信号脉宽不变，信号周期越大其频率点谱线的幅值越小，反之则越大。
扩展资料：
常见的周期信号有：正弦信号、脉冲信号以及它们的整流、微分、积分等。这类可称为简单信号。它们的特点是在一个周期内的极值点不会超过两个且周期性特征明显。
对于这类已明确具有周期特性的信号，周期与否的判别相对简单，周期测量的方法也很成熟完善，如：过零检测法，脉冲整形法等。
一个信号既可以是模拟的也可以是数字的。如果它是连续时间和连续值，那么它就是一个模拟信号。如果它是离散时间和离散值，那么它就是一种数字信号。
除了这种区分外，信号也可以分为周期性的或非周期性的。周期性信号是一种经过一定时间重复本身的，而非周期性信号则不会重复。模拟和数字信号既可以是周期性的也可以是非周期性的。
区别周期信号和非周期信号的方法：
1、周期信号的频谱是离散的，准周期信号的频谱是连续的。
2、因周期信号可以用一组整数倍频率的三角函数表示，所以在频域里是离散的频率点。准周期信号做Fourier变换的时候，n趋向于无穷，所以在频谱上就变成连续的了。
参考资料来源：百度百科-周期信号
根据上节的讨论，周期信号的谱是以基频ω0为整数倍的离散谱。对于非周期信号，可以看成是周期趋于无穷大。此时离散谱间隔 ，离散谱就变成了连续谱。在生产实践中，常用的是非周期信号。例如地震子波，就是一个沿时间轴呈指数规律衰减的正弦信号，也可称为雷克子波，它们是定义在整个时间轴上的。
1.傅立叶积分和傅立叶变换
由于周期函数在满足狄氏条件时，其傅立叶级数展开式为(3-1-12)
物探数字信号分析与处理技术
式中
当周期T→∞时用Δω表示频率间隔，用连续值ω表示nω0，此时频率间隔
物探数字信号分析与处理技术
nω0用连续值ω表示，于是
物探数字信号分析与处理技术
物探数字信号分析与处理技术
令
于是
F(ω)称为f(t)的连续频谱，一般是复函数，可以表示成
物探数字信号分析与处理技术
式(3-2-4)中，A(ω)称为振幅谱;φ(ω)称为相位谱。(3-2-2)称为f(t)的傅立叶变换，(3-2-3)称为F(ω)的反变换。它们组成了一对傅立叶变换对。
例 求如下矩形脉冲函数的频谱。
物探数字信号分析与处理技术
因为F(ω)是实数，F(ω)就是f(t)的振幅谱，即
物探数字信号分析与处理技术
相位谱
也可写成
物探数字信号分析与处理技术
矩形脉冲的振幅谱和相位谱见图3-2-1和图3-2-2。由图可见，矩形脉冲的频谱在ω= 处为零值。我们把从零频率到第一个零值频率之间的宽度作为信号的频带宽度。图中信号的频带宽度为π/T。显然对于矩形脉冲函数，其脉冲宽度T愈窄，其频带宽度π/T就愈宽。
2.几种时间函数的频谱
根据以上讨论，频谱F(ω)一般是复数，对应的时间函数f(t)也可以是复数，
图3-2-1 矩形脉冲的振幅谱
图3-2-2 矩形脉冲的相位谱
物探数字信号分析与处理技术
其复数谱的求法只要将其代入式(3-2-2)和(3-2-3)，并最终代入式(3-2-4)即可求其振幅谱和相位谱。根据地球物理勘探信号分析中常使用的信号类型，下面主要讨论实时间函数，虚时间函数，非奇非偶时间函数的频谱，并讨论其奇、偶性。特别对因果时间信号实部和虚部的相互关系也予以讨论。
(1)实时间函数的频谱
若f(t)是实时间函数，根据傅立叶变换公式(3-2-2)
频谱的实部和虚部分别为:
物探数字信号分析与处理技术
显然
R(ω)=R(-ω)是ω的偶函数
X(ω)=-X(-ω)是ω的奇函数
振幅谱为
物探数字信号分析与处理技术
是ω的偶函数。其相位谱为
物探数字信号分析与处理技术
是ω的奇函数。综合以上两式得到:
物探数字信号分析与处理技术
说明实时间函数的频谱函数是共轭对称的:实部是偶对称，虚部是奇对称的。实时间函数的这个性质启发我们，若线性时不变系统的时间特性是实时间函数时，其对应的频率响应函数H(ω)是共轭偶对称的(图3-2-3):H(ω)=H*(-ω)，即
物探数字信号分析与处理技术
(2)f(t)是纯虚时间函数
若f(t)是纯虚时间函数，则可以证明
则
图3-2-3 实时间函数的频谱特征
物探数字信号分析与处理技术
显然有
物探数字信号分析与处理技术
其振幅谱
物探数字信号分析与处理技术
是ω的偶函数。其相位谱为 是ω的奇函数。
虚时间函数的振幅谱是偶对称的，相位谱是奇对称的，但相位谱符号与实时间函数的符号相反。其性质可写成
物探数字信号分析与处理技术
即f(t)是虚时间函数时，其频谱函数F(ω)是共轭奇对称的(图3-2-4)。
图3-2-4 纯虚时间函数的频谱特征
(3)f(t)是实偶函数
若f(t)是实偶函数，由(3-2-2)
物探数字信号分析与处理技术
由于f(t)是实偶函数，所以
物探数字信号分析与处理技术
R(ω)=R(-ω)是实偶函数，所以F(ω)是实偶函数.
另外根据傅立叶反变换公式(3-2-3)
物探数字信号分析与处理技术
当F(ω)为实偶函数时，上式的实部
物探数字信号分析与处理技术
f1(t)=f1(-t)是实偶函数，所以f(t)是实偶函数。
结论:一个实偶函数的傅立叶变换是一实偶函数;一个实偶函数的反变换也是一实偶函数。
(4)f(t)是实奇函数
根据
由于f(t)是奇函数，所以
物探数字信号分析与处理技术
且
是奇函数，所以F(ω)是虚奇函数。
另外证明其反变换
物探数字信号分析与处理技术
当F(ω)是虚奇函数时，代入上式后得到
物探数字信号分析与处理技术
且f1(t)=-f1(-t)是实奇函数，所以f(t)也是实奇函数。
结论:一个实奇函数的傅立叶变换是一个虚奇函数;而一个虚奇函数的反变换为一个实奇函数。
(5)f(t)为非奇非偶的实时间函数
可将其分解为偶分量fe(t)和奇分量f0(t)，得到
物探数字信号分析与处理技术
其反变换
物探数字信号分析与处理技术
(6)信号f(t)是因果的
即
由于
所以
对于函数f(t)的偶分量为:
物探数字信号分析与处理技术
对于函数f(t)的奇分量为:
物探数字信号分析与处理技术
当t>0时，有f(t)=2fe(t)=2f0(t)
所以，
因此f(t)可以单独地由R(ω)或X(ω)求得，又
物探数字信号分析与处理技术
而
将(3-2-23)代入(3-2-24)，得
物探数字信号分析与处理技术
同样，由于
物探数字信号分析与处理技术
而
将(3-2-26)代入(3-2-27)
物探数字信号分析与处理技术
式(3-2-28)和(3-2-25)分别是因果时间信号傅立叶变换的实部和虚部的相互关
系。
(7)几种常用信号的频谱
1)δ(t)的频谱
物探数字信号分析与处理技术
根据傅立叶变换的对偶性，得到 从而得到
物探数字信号分析与处理技术
对于时移单位脉冲信号δ(t-t0)的频谱图3-2-5为
图3-2-5δ (t-t0)及其频谱
物探数字信号分析与处理技术
故
物探数字信号分析与处理技术
说明对于时移单位脉冲信号，其振幅谱是1，相位谱是线性相位-ωt02)直流信号的频谱
设有
物探数字信号分析与处理技术
其傅立叶变换
物探数字信号分析与处理技术
故有
物探数字信号分析与处理技术
其频谱图见图3-2-6。
图3-2-6 直流信号及其频谱
3)正弦和余弦信号的频谱
利用
物探数字信号分析与处理技术
得到
即
同样
即
其中，正弦信号及其频谱见图3-2-7，余弦信号及其频谱见图3-2-8。
图3-2-7 正弦信号及其频谱
图3-2-8 余弦信号及其频谱
4)符号函数的频谱
物探数字信号分析与处理技术
一个符号函数可以看成是一个奇数指数衰减函数(图3-2-9)。
物探数字信号分析与处理技术
当a→0时的极限。
图3-2-9 奇数指数函数
图3-2-10 符号函数及其频谱
已知一个奇对称指数衰减函数的频谱(图3-2-10)为
物探数字信号分析与处理技术
当
物探数字信号分析与处理技术
所以有
5)方波函数的频谱
设方波为
物探数字信号分析与处理技术
它的频谱为
物探数字信号分析与处理技术
方波及其频谱图见图3-2-11。
图3-2-11 方波及其频谱
6)三角波及其频谱
设三角波为
物探数字信号分析与处理技术
它的频谱为
物探数字信号分析与处理技术
三角波及其频谱图形见图3-2-12。
图3-2-12 三角波及其频谱
7)钟形波及其频谱
设钟形波为
物探数字信号分析与处理技术
它的图形像钟，故称为钟形波(见图3-2-13(a))
图3-2-13 钟形波及其频谱
其频谱为
物探数字信号分析与处理技术
这个积分用普通的分部积分求不出来，采用微分的方法，即先对S(f)求微商，然后再求S(f)本身，具体计算如下:
物探数字信号分析与处理技术
(用分部积分法)
由此可得
将上式两边从0到f积分，左边为
物探数字信号分析与处理技术
右边为
物探数字信号分析与处理技术
因此有
物探数字信号分析与处理技术
为了求得钟形波的频谱S(f)，必须确定S(0)，即要计算 ，为此我们先计算 ，现给出一个比较简单的计算方法
物探数字信号分析与处理技术
(将变量y用变量t代替，令y=xt)
物探数字信号分析与处理技术
所以
由此可知
物探数字信号分析与处理技术
因此
显然钟形波的频谱仍然是钟形。
非周期信号及连续谱
答：对于非周期信号,可以看成是周期趋于无穷大。此时离散谱间隔 ,离散谱就变成了连续谱。在生产实践中,常用的是非周期信号。例如地震子波,就是一个沿时间轴呈指数规律衰减的正弦信号,也可称为雷克子波,它们是定义在整个时间轴上的。 1.傅立叶积分和傅立叶变换 由于周期函数在满足狄氏条件时,其傅立叶级数展开式为(3...
周期信号的频谱是什么谱,非周期信号的频谱是什么谱?
答：周期信号的频谱是离散谱，而非周期信号的频谱是连续谱。常见的周期信号有：正弦信号、脉冲信号以及它们的整流、微分、积分等
周期信号和非周期信号频谱区别
答：1、频谱不同 周期信号的频谱中的谱线是分开的，中间没有连在一起，而非周期信号的频谱则是连续的。2、有无重复 周期信号是瞬时幅值随时间重复变化的信号，而非周期性信号则不会重复。3、三角函数换算不同 周期信号可以用一组整数倍频率的三角函数表示，所以在频域里是离散的频率点。准周期信号做Fourie...
第三章(3)非周期信号的频谱
答：复习•1、周期信号的频谱•2、周期信号频谱的特点•3、周期信号的功率谱3.4非周期信号的频谱一、傅里叶变换前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的...
非周期函数的频谱是连续的吗
答：周期信号可以分为准周期信号和非准周期信号，其中准周期信号的频谱是有几个周期函数的频谱组合而成的，是离散的，非准周期信号是连续的。一般我们所说的非周期信号只指非准周期信号，所以这一句话可以说是正确的。望能帮到你了
周期信号和非周期信号谱的各自特点是什么
答：周期信号的频谱是一根一根谱线,非周期信号的频谱则是连续的。信号是数据的电磁编码或电子编码。和数据一样，信号也分为模拟信号和数字信号。模拟信号是指电信号的参量是连续取值的，其特点是幅度连续。常见的模拟信号有电话、传真和电视信号等。数字信号是离散的，从一个值到另一个值的改变是瞬时的，就像...
周期信号和非周期信号频谱区别
答：周期信号和非周期信号频谱区别：1、周期信号的频谱是离散的，非周期信号的频谱是连续的。2、因周期信号可以用一组整数倍频率的三角函数表示，所以在频域里是离散的频率点。非周期信号做Fourier变换的时候，n趋向于无穷，所以在频谱上就变成连续的了。频谱就是频率的分布曲线，复杂振荡分解为振幅不同和频率...
周期信号与非周期信号的频谱图有什么差别、
答：差别：周期信号的频谱是一条一条的线,最低的那条就是基波了。 非周期信号的频谱是连片的。声音频率与能量的关系用频谱表示，以横轴纵轴的波纹方式，记录画出各种信号频率的图形资料。在实际使用中，频谱图有三种，即线性振幅谱、对数振幅谱、自功率谱。线性振幅谱的纵坐标有明确的物理量纲，是最常用的...
傅里叶变换那点事
答：对于周期T的信号，其傅里叶系数的频谱间隔\( \Delta f \)会趋近于0，导致非周期信号的频谱变为连续谱。傅里叶系数的表达式，以三角函数和虚指数函数为基，变为关于频率\( f \)的连续函数，即著名的傅里叶变换：对于信号\( x(t) \)，傅里叶变换\( X(f) \)可以表示为：\[ X(f) = \...
确知信号的频域性质
答：功率信号的频谱 ： 一般为连续的、周期的，其频谱就是它的傅里叶级数（离散的，非周期，无穷），负频谱和正频谱的模是偶对称的，相位是奇对称。 能量信号的频谱密度 ： 一般为连续的非周期，其频谱密度是指其傅里叶变换（连续的非周期）。 能量信号的能量谱密度 ： 能量 ， 即...
