一元二次方程的解题方法
一元二次方程的解法有如下几种:
第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).(3)提取公因式
例1:X^2-4X+3=0
本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。
例2:X^2-8X+16=0
本题运用因式分解法中的完全平方公式,原方程分解为(X-4)^2=0 可以得出X1=4 X2=4(注意:碰到此类问题,一定要写X1=X2=某个数,不能只写X=某个数,因为一元二次方程一定有两个根,两个根可以相同,也可以不同)
例3:X^2-9=0
本题运用因式分解法中的平方差公式,原方程分解为(X-3)(X+3)=0 ,可以得出X1=3,X2=-3。
例4:X^2-5X=0
本题运用因式分解法中的提取公因式法来解,原方程分解为X(X-5)=0 ,可以得出X1=0 ,X2=5
第二种方法是配方法,比较复杂,下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程:
X^2+2X-3=0
第一步:先在X^2+2X后加一项常数项,使之能成为一项完全平方式,那么根据题目,我们可以得知应该加一个1这样就变成了(X+1)^2。
第二步:原式是X^2+2X-3,而(X+1)^2=X^2+2X+1,两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4,才会等于原式,所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。
还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。
最后如果用了上面所有的方法都无法解方程,那就只能像楼上所说的用求根公式了。
定理就是韦达定理,还有根的判别式,韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a
举例:X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4,两根之积就是3/1=3,(你可以自己解一下,看看是否正确)。
因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 •2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
例5.用适当的方法解下列方程。(选学)
(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0
(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差
公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
(3)化成一般形式后利用公式法解。
(4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
(2)解: x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
(3)解:x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学)
分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方
法)
解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解:x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论)
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根。
说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求,必要时进行分类讨论。
练习:
(一)用适当的方法解下列方程:
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
(二)解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案:
(一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式)
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
(二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a• a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
测试
选择题
1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个
根是( )。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5. 方程x2-3x=10的两个根是( )。
A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5
6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。
A、 B、 C、 D、无实根
7. 方程2x2-0.15=0的解是( )。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8. 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不对
9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案与解析
答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析:
1.分析:移项得:(x-5)2=0,则x1=x2=5,
注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。
2.分析:依题意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1
时,方程成立,则必有根为x=1。
4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零,
则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0.
另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!
5.分析:原方程变为 x2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6.分析:Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根。
7.分析:2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。
8.分析:两边乘以3得:x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2,
整理为:(x-)2=
方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9.分析:x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1
则(x-1)2=m+1.
中考解析
考题评析
1.(甘肃省)方程的根是( )
(A) (B) (C) 或 (D) 或
评析:因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确
选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=-1,不能使方程左右相等,所以也是错误的。正确选项为
C。
另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免。
2.(吉林省)一元二次方程的根是__________。
评析:思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可。
3.(辽宁省)方程的根为( )
(A)0 (B)–1 (C)0,–1 (D)0,1
评析:思路:因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、
B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4.(河南省)已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________。
评析:k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解。
5.(西安市)用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( )
(A)x=3+2 (B)x=3-2
(C)x1=3+2 ,x2=3-2 (D)x1=3+2,x2=3-2
评析:用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方
根,即可选出答案
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
一般解法 1..配方法(可解所有一元二次方程)2.公式法(可解所有一元二次方程)
3.因式分解法(可解部分一元二次方程)
4.开方法(可解部分一元二次方程)一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器 有解方程的,不过要一般形式)
一、知识要点:
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基
础,应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
二、方法、例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程,其解为x=m± .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以
此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
当b2-4ac≥0时,x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1:x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
配方:(x-)2=
直接开平方得:x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b^2-4ac的值,当b^2-4ac≥0时,把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
例5.用适当的方法解下列方程。(选学)
(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0
(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差
公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
(3)化成一般形式后利用公式法解。
(4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
(2)解: x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
(3)解:x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学)
分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方
法)
解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解:x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论)
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根。
说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求,必要时进行分类讨论。
练习:
(一)用适当的方法解下列方程:
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
(二)解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案:
(一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式)
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
(二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
测试(有答案在下面)
选择题
1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个
根是( )。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5. 方程x2-3x=10的两个根是( )。
A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5
6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。
A、 B、 C、 D、无实根
7. 方程2x2-0.15=0的解是( )。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8. 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不对
9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案与解析
答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析:
1.分析:移项得:(x-5)2=0,则x1=x2=5,
注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。
2.分析:依题意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1
时,方程成立,则必有根为x=1。
4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零,
则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0.
另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!
5.分析:原方程变为 x2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6.分析:Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根。
7.分析:2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。
8.分析:两边乘以3得:x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2,
整理为:(x-)2=
方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9.分析:x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1
则(x-1)2=m+1.
中考解析
考题评析
1.(甘肃省)方程的根是( )
(A) (B) (C) 或 (D) 或
评析:因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确
选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=-1,不能使方程左右相等,所以也是错误的。正确选项为
C。
另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免。
2.(吉林省)一元二次方程的根是__________。
评析:思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可。
3.(辽宁省)方程的根为( )
(A)0 (B)–1 (C)0,–1 (D)0,1
评析:思路:因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、
B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4.(河南省)已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________。
评析:k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解。
5.(西安市)用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( )
(A)x=3+2 (B)x=3-2
(C)x1=3+2 ,x2=3-2 (D)x1=3+2,x2=3-2
评析:用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方
根,即可选出答案。
一般解法 1..配方法(可解所有一元二次方程)
2.公式法(可解所有一元二次方程)
3.因式分解法(可解部分一元二次方程)
4.开方法(可解部分一元二次方程)一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器 有解方程的,不过要一般形式)
一、知识要点:
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基
础,应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
二、方法、例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程,其解为x=m± .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以
此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
当b2-4ac≥0时,x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1:x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
配方:(x-)2=
直接开平方得:x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b^2-4ac的值,当b^2-4ac≥0时,把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
例5.用适当的方法解下列方程。(选学)
(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0
(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差
公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
(3)化成一般形式后利用公式法解。
(4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
(2)解: x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
(3)解:x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学)
分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方
法)
解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解:x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论)
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根。
说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求,必要时进行分类讨论。
练习:
(一)用适当的方法解下列方程:
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
(二)解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案:
(一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式)
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
(二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
测试(有答案在下面)
选择题
1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个
根是( )。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5. 方程x2-3x=10的两个根是( )。
A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5
6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。
A、 B、 C、 D、无实根
7. 方程2x2-0.15=0的解是( )。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8. 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不对
9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案与解析
答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析:
1.分析:移项得:(x-5)2=0,则x1=x2=5,
注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。
2.分析:依题意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1
时,方程成立,则必有根为x=1。
4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零,
则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0.
另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!
5.分析:原方程变为 x2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6.分析:Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根。
7.分析:2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。
8.分析:两边乘以3得:x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2,
整理为:(x-)2=
方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9.分析:x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1
则(x-1)2=m+1.
中考解析
考题评析
1.(甘肃省)方程的根是( )
(A) (B) (C) 或 (D) 或
评析:因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确
选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=-1,不能使方程左右相等,所以也是错误的。正确选项为
C。
另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免。
2.(吉林省)一元二次方程的根是__________。
评析:思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可。
3.(辽宁省)方程的根为( )
(A)0 (B)–1 (C)0,–1 (D)0,1
评析:思路:因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、
B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4.(河南省)已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________。
评析:k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解。
5.(西安市)用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( )
(A)x=3+2 (B)x=3-2
(C)x1=3+2 ,x2=3-2 (D)x1=3+2,x2=3-2
评析:用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方
根,即可选出答案。
一般解法 1..配方法(可解所有一元二次方程)
2.公式法(可解所有一元二次方程)
3.因式分解法(可解部分一元二次方程)
4.开方法(可解部分一元二次方程)一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器 有解方程的,不过要一般形式)
一、知识要点:
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基
础,应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
二、方法、例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程,其解为x=m± .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以
此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
当b2-4ac≥0时,x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1:x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
配方:(x-)2=
直接开平方得:x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b^2-4ac的值,当b^2-4ac≥0时,把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
例5.用适当的方法解下列方程。(选学)
(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0
(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差
公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
(3)化成一般形式后利用公式法解。
(4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
(2)解: x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
(3)解:x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学)
分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方
法)
解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解:x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论)
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根。
说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求,必要时进行分类讨论。
练习:
(一)用适当的方法解下列方程:
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
(二)解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案:
(一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式)
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
(二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
测试(有答案在下面)
选择题
1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个
根是( )。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5. 方程x2-3x=10的两个根是( )。
A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5
6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。
A、 B、 C、 D、无实根
7. 方程2x2-0.15=0的解是( )。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8. 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不对
9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案与解析
答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析:
1.分析:移项得:(x-5)2=0,则x1=x2=5,
注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。
2.分析:依题意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1
时,方程成立,则必有根为x=1。
4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零,
则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0.
另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!
5.分析:原方程变为 x2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6.分析:Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根。
7.分析:2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。
8.分析:两边乘以3得:x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2,
整理为:(x-)2=
方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9.分析:x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1
则(x-1)2=m+1.
中考解析
考题评析
1.(甘肃省)方程的根是( )
(A) (B) (C) 或 (D) 或
评析:因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确
选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=-1,不能使方程左右相等,所以也是错误的。正确选项为
C。
另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免。
2.(吉林省)一元二次方程的根是__________。
评析:思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可。
3.(辽宁省)方程的根为( )
(A)0 (B)–1 (C)0,–1 (D)0,1
评析:思路:因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、
B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4.(河南省)已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________。
评析:k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解。
5.(西安市)用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( )
(A)x=3+2 (B)x=3-2
(C)x1=3+2 ,x2=3-2 (D)x1=3+2,x2=3-2
评析:用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方
根,即可选出答案。
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解一元二次方程的三种基本方法
答:3、公式法。公式法俗称万能方法,任何解一元二次方程的题目都能用;但是公式法需要把公式记住,做题的时候解题量较大,所以不建议用。在做题的时候可以先观察一下,如果之前学的方法不适用,那再用公式法。4、因式分解法里面的提公因式法。因式分解是非常重要的一种解题方法,因式分解作为八年级重要的...
一元二次方程的详细解法有哪些?
答:我也去答题访问个人页 关注 展开全部 一元二次方程的解法有如下几种: 第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).(3)提取公因式 例:X^2-4X+3=0 本题运用因式分解法中的...
一元二次方程解题方法和技巧
答:一元二次方程解题方法和技巧如下:1.移项:把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;2.“系数化1”:根据等式的性质把二次项的系数化为1;3.配方:将方程两边分别加上一次项系数一半的平方;4.求解:5.“将二次项系数化为1”是配方的前提条件,第三步配方是关键...
一元二次解方程的三种基本方法
答:30乘以任何数都得0,(x-2)要是0那么x=2,(x+2)等于0那么X=-2,这样就可以了。配方法:配方法不算很难但非常重要,配方法可以求二次函数顶点和坐标,也可以解元二次方程。第一步,先化为ax2+bx=c的形式。第二步,取一次项系数b一半的平方再方程。b=8,先取一半,就是4,然后平方就...
怎么解一元二次方程
答:2. 解一元二次方程的常用方法:(1)直接开方法:把一元二次方程化为一般式后,如果方程中缺少一次项,是一个形如ax2+c=0的方程时,可以用此方法求解。解法步骤:①把常数项移到等号右边,;②方程中每项都除以二次项系数,;③开平方求出未知数的值:(2)因式分解法:把一元二次方程化为...
一元二次方程6种解法分别是?
答:用因式分解法解一元二次方程:一、将方程右边化为( 0)二、方程左边分解为(两个 )因式的乘积 三、令每个一次式分别为( 0)得到两个一元一次方程 四、两个一元一次方程的解,就是所求一元二次方程的解。或:首先是分解因式法,看能否分解成(x-a)(x-b)=0 如果能,解就是a和b 其次,如果...
解一元二次方程的格式有哪些?要注意哪些
答:在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般式,同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时,首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法,找不到简单方法时,即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式,但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。
一元二次方程配方法?
答:《一元二次方程的解法都有什么.dox》下载本篇文章 测一测你能上的大学 山西 理科 文科 输入成绩 测一测我能上哪些大学 热门推荐 猜你喜欢 高考前用这个方法,每科再提20分!高中十大教辅书排行榜2020 2020-12-17 一元二次方程求根公式推导过程 2019-12-12 一元二次方程解题步骤 2020-01-18 ...
配方法解一元二次方程口诀
答:配方法解一元二次方程口诀如下:配方法是指将一个式子(包括有理式和超越式)或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和,这种方法称之为配方法。这种方法常常被用到恒等变形中,以挖掘题目中的隐含条件,是解题的有力手段之一。方程式解一元二次的方法有:配方法、公式法...
一元二次方程两种解法
答:一元二次方程主要有两种方法,第1种是配方法,第2种是公式法。配方法:举例x²-2x+1=0 原式可以化为(x-1)²=0,得到x=1。公式法:举例x²-2x+1=0 这里a=1,b=-2,c=1 使用公式法进行计算:x=(-b±√(b²-4ac))/2a 代入数据得到:x=1。