求一道初中一年级的数学题 1+3+5+7...+（2n+1）=? 现在初中孩子的题真难算，希望高人帮助，谢

本人有1道初中的数学题不太会解.！！希望数学高人帮忙.！~

解：
设含药30%的药水x千克，含药75%的药水y千克。
{30%x+75%x=50%*18
{x+y=18
解得：{x=10
{y=8
答：含药30%的药水10千克，含药75%的药水8千克。



本人不是数学高手，不能保证这道题目百分之百的，万无一失的正确，但是经过验算，这个解法可能大概应该····我想·· 就是正确的。

2+4+5=11
3+7+9=19
19大于11
就要想办法把一个下面最大的数和上面任意一个数调换，然后一个一个试。
4+5+9=18 3+7+2=12 不对
2+5+9=16 3+7+4=14 不对
2+4+9=15 3+7+5=15 对了
所以要把9和5调换

规律如下：
k=1时，1+3= (1+1)²
k=2时，1+3+5=(1+2)²
k=3时，1+3+5+7=(1+3)²
.......
k=n时，1+3+5+7...+（2n+1）= (n+1)²

计算过程：
当n为奇数时：1+3+5+7...+（2n+1） 【共n+1项】
={1+(2n+1)} +{3+(2n-1)} + {5+(2n-3)} +{7+(2n-5)} +......+{n+n+2} 【共(n+1)/2个{ } 】
=(n+1)/2 * (2n+2)
= (n+1)²
当n为偶数时：1+3+5+7...+（2n+1） 【共n+1项】
={1+(2n+1)} +{3+(2n-1)} + ......+{(n-1)+(n+3)} +(n+1)【前边共n/2个{ }，最后一项为n+1】
=n/2 * (2n+2) +(n+1)
=n(n+1)+(n+1)
= (n+1)²

原式=(1+2n+1)(n+1)/2=(n+1)²
也可以这样看
1=1²
1+3=2²
1+3+5=3²
1+3+5.........+(2n-1)=n²
1+3+5+7...+（2n+1）=(n+1)²

这个是个等差数列的求和问题：
等差数列通项公式：
an=a1+(n-1)d
其中a1为首项，d为公差(如d=a2-a1等等)
求和公式：
Sn=[n(a1＋an)]/2=na1＋[n(n－1)]d/2
a1=1,d=3-1=2,an=2n+1
得题中所求式子Sn=n+n(n－1)=n^2

高斯的基本方法,第一个和最后一个配对,第2个和倒数第2个配对,依次类推,共可以配成(2n+2)/4对.每一对的和都是2n+2.所以结果是(n+1)*(n+1)=n^2+2n+1 =(n+1)²

Sn=n*(a1+an)/2=n*a1+(n*(n-1)/2)*d
此例中为（n+1)*(1+2n+1)/2=(n+1)的平方

1+(2n+1)=2n+2
3+(2n-1)=2n+2
.
.
(2n+1)/2=n+0.5 有n+0.5个（2n+2）
1+3+5+7...+（2n+1）=（2n+2）*（n+0.5）