数学证明题 如图，已知△ADE全等于△ABC,且∠DAE=∠ABC,∠ACB=∠AED=90°，点E,A,C共线，BD的中点为M。。
（1）在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AEDAC＝AE∠BAC＝∠DAE，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴BC=DE，如图1，延长CP、ED，相交于点F，∵P为线段BD的中点，∴BP=DP，∵∠ACB=∠AED=90°∴BC∥DE，∴∠F=∠BCP，在△BCP和△DFP中，∠F＝∠BCP∠BPC＝∠DPFBP＝DP，∴△BCP≌△DFP（AAS），∴CP=PF，BC=DF，∴PC=PE=PF，∴∠F=∠PEF，又∵BC=DE=DF，AC=AE，∴AD是△CEF的中位线，∴AD∥CF，∴∠F=∠ADE，∵∠DAE=30°，∠AED=90°，∴∠ADE=90°-30°=60°，∴∠CPE=∠F+∠PEF=2∠F=2∠ADE=2×60°=120°；（2）如图2，延长CP、ED，相交于点F，∵P为线段BD的中点，∴BP=DP，∵∠ACB=∠AED=90°∴BC∥DE，∴∠F=∠BCP，在△BCP和△DFP中，∠F＝∠BCP∠BPC＝∠DPFBP＝DP，∴△BCP≌△DFP（AAS），∴CP=PF，BC=DF，∴PC=PE=PF，∴∠F=∠PEF，∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，∴AC=3BC，AE=3DE，∴然后求出AEAC=DEBC=DEDF，∴AD∥CF，∴∠F=∠ADE，∴∠CPE=∠F+∠PEF=2∠F=2∠ADE=2×60°=120°；（3）∠CPE=120°，PC=PE．理由如下：如图3，取AB的中点M，AD的中点N，连接CM、PM、EN、PN，∵P为线段BD的中点，∴PM∥AD，PN∥AB，∴四边形AMPN是平行四边形，∴PM=AN，PN=AM，∠AMA=∠PNA，∴180°-∠AMA=180°-∠PNA，即∠PMB=∠PND，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AM=CM，EN=AN，∴CM=PN，PM=EN，∠BMC=2∠BAC=2×30°=60°，∠DNE=2∠DAE=2×30°=60°，∴∠PMB+∠BMC=∠PND+∠DNE，即∠PMC=∠ENP，在△PMC和△ENP中，CM＝PN∠PMC＝∠ENPPM＝EN，∴△PMC≌△ENP（SAS），∴PC=PE，∠PCM=∠EPN，∵四边形AMPN的对边PN∥AM，∴∠MPN=∠PMB，∴∠CPE=∠CPM+∠MPN+∠EPN=∠CPM+∠PMB+∠PCM，在△PMC中，∠CPM+∠PMB+∠PCM=180°-∠BMC=180°-60°=120°，所以，∠CPE=120°．
将ADE旋转，使AE//BC
请看图片：
DA/AC=DE/EF=k
因为∠AED+∠B=180°
∠ABF+∠B=180°
又因为∠AED=∠EFB
所以∠ABF=∠EFB
所以AEFB为等腰梯形
所以EF=AB
所以DE/AB=k
由已知得：AD＝BA且∠ADE＝∠BAC，所以∠DAB＝90°，所以△ABD为等腰直角三角形，
又因为M为BD中点，所以AM⊥BD，因∠BMA＝∠BCA＝90°这样A、C、B、M四点共圆，
所以∠MCA＝∠MBA＝45°
同理∠MEA也为45°，所以△EMC为等腰直角三角形。
连接AM。
∵ΔABC≌ΔDAE，∴AD=AB，∠DAE=∠ABC，
∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠DAE+∠BAC=90°，
∴∠BAD=90°，∴ΔABD是等腰直角三角形，
∵M是斜边BD的中点，∴AM⊥BD，且AM=BM=DM。
∴∠CBM+∠CAM=180°，又∠EAM+∠CAM=180，
∴∠EAM=∠CBM，又AM=BM，AE=BC，
∴ΔAEM≌ΔBCM，
∴ME=MC，∠AME=∠BMC，
∵∠BMC+∠AMC=90°，∴∠AME+∠AMC=90°，即∠CME=90°，
∴ΔMCE是等腰直角三角形。
