性线代数计算题。 试问a为何值时，线性方程组(如图) 有解？并在有解时求其通解。

线性代数，当a为何值时线性方程组有解，并求通解（第四题第一小题）~

增广阵为
1
0
-2
-3
1
0
1
-1
2
-2
秩为2，通解有两个线性无关的向量
分别令(x3,x4)=(0,1)和(1,0)得
(x1,x2,x3,x4)=(4,-4,0,1)和(3,-1,1,0)
从而通解为c1(4,-4,0,1)+c2(3,-1,1,0)

写出此方程组的增广矩阵，用初等行变换来解
2 λ -1 1
λ -1 1 2
4 5 -5 -1 第2行减去第3行乘以λ/4，第3行减去第1行×2，第1行除以2
～
1 λ/2 -1/2 1/2
0 -1-5λ/4 1+5λ/4 2+λ/4
0 5-2λ -3 -3
若方程组有无穷多解或无解，
则系数矩阵的行列式等于0，
所以
(-1-5λ/4)*(-3) -(1+5λ/4)(5-2λ)=0
解得λ= -4/5或1
所以λ不等于 -4/5和1的时候，方程组有唯一解

若λ= -4/5，则增广矩阵可以化简为
1 -2/5 -1/2 1/2
0 0 0 9/5
0 33/5 -3 -3
显然系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解

若λ= 1，则增广矩阵可以化简为
1 1/2 -1/2 1/2
0 -9/4 9/4 9/4
0 3 -3 -3 第2行除以-9/4
～
1 1/2 -1/2 1/2
0 1 -1 -1
0 3 -3 -3 第1行减去第2行×1/2，第3行减去第2行×3
～
1 0 0 1
0 1 -1 -1
0 0 0 0
那么得到方程组的通解为c*(0,1,1)^T + (1,0,1)^T ，c为常数


综上所得
λ不等于 -4/5和1的时候，方程组有唯一解，
λ= -4/5时，方程组无解
λ= 1时，方程组的通解为c*(0,1,1)^T + (1,0,1)^T ，c为常数

非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，
即：r（Ã ）= r（A）

系数矩阵为：
1 1 1 1
1 0 3 -1
3 3 3 2
2 2 2 1

它的秩为：r（A）= 3

增广矩阵为：
1 1 1 1 -7
1 0 3 -1 8
3 3 3 2 -11
2 2 2 1 2a

要使它的秩也等于3， 2a+14=10，（第四行减去第一行的两倍） 解得 a=-2

通解———— 先化简矩阵：

1 1 1 1 -7
1 0 3 -1 8
3 3 3 2 -11
2 2 2 1 -4
——
1 1 1 1 -7
0 -1 2 -2 15
0 0 0 -1 10
0 0 0 -1 10
——
1 1 1 1 -7
0 -1 2 -2 15
0 0 0 -1 10
0 0 0 0 0
——
1 0 3 -1 8
0 -1 2 -2 15
0 0 0 -1 10
0 0 0 0 0
——
x1+ x2+ x3+ x4=-7
-x2+ 2x3-2x4=15
-x4=10
0=0

解得：
x1 = -2 -3x3
x2 = 5 + 2x3
x3 = x3
x4 = -10

所以，通解为：

x1 -2 -3
x2 5 2
x3 = 0 + t 1
x4 -10 0

我也是一个学生，以上是我的理解，希望对吧。 如果有这里的老师指点一下就更好了！！

以上全部是一个字一个字打出来的，好累………… 希望能帮到楼主，如有意见，提出来共同研究研究，谢谢！

解: 增广矩阵 =
1 1 1 1 -7
1 0 3 -1 8
3 3 3 2 -11
2 2 2 1 2a
r2-r1,r3-3r1,r4-2r1
1 1 1 1 -7
0 -1 2 -2 15
0 0 0 -1 10
0 0 0 -1 2a+14
r3*(-1),r1-r3,r2+2r3,r4+r3
1 1 1 0 3
0 -1 2 0 -5
0 0 0 1 -10
0 0 0 0 2a+4
r1+r2,r2*(-1)
1 0 3 0 -2
0 1 -2 0 5
0 0 0 1 -10
0 0 0 0 2a+4
所以当a=-2时方程组有解
此时方程组的通解为 (-2,5,0,-10)^T+k(-3,2,1,0)^T.