电大数学思想与方法 什么是数学模型方法
数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想,它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征,并且是历史地发展着的.通过数学思想的培养,数学的能力才会有一个大幅度的提高.掌握数学思想,就是掌握数学的精髓.函数与方程思想
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组）,然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的.
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题.宇宙世界,充斥着等式和不等式.我们知道,哪里有等式,哪里就有方程；哪里有公式,哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲,密切相关.列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的.
函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究.它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点.一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性.在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键.对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型.另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题.
函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点.我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量,构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系；实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决.
数形结合思想
“数无形,少直观,形无数,难入微”,利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易,化繁为简.把代数和几何相结合,例如对几何问题用代数方法解答,对代数问题用几何方法解答,这种方法在解析几何里最常用.例如求根号（(a-1)^2+(b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值,就可以把它放在坐标系中,把它转化成一个点到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四点的距离,就可以求出它的最小值.
分类讨论思想
当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时,需要对这个量的各种情况进行分类讨论.比如解不等式|a-1|>4的时候,就要讨论a的取值情况.
方程思想
当一个问题可能与某个方程建立关联时,可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题.例如证明柯西不等式的时候,就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式.
整体思想
从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的的、有意识的整体处理.整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用,整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用.
转化思想
在于将未知的,陌生的,复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的,熟悉的,简单的问题.三角函数,几何变换,因式分解,解析几何,微积分,乃至古代数学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想.常见的转化方式有：一般 特殊转化,等价转化,复杂 简单转化,数形转化,构造转化,联想转化,类比转化等.
隐含条件思想
没有明文表述出来,但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件,或者是没有明文表述,但是该条件是一个常规或者真理.
类比思想
把两个（或两类）不同的数学对象进行比较,如果发现它们在某些方面有相同或类似之处,那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处.
建模思想
为了描述一个实际现象更具科学性,逻辑性,客观性和可重复性,人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象,这种语言就是数学.使用数学语言描述的事物就称为数学模型.有时候我们需要做一些实验,但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验,实验本身也是实际操作的一种理论替代.
化归思想
化归思想就是化未知为已知,化繁为简,化难为易.如将分式方程化为整式方程,将代数问题化为几何问题,将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有:待定系数法,配方法,整体代入法以及化动为静,由抽象到具体等转化思想
归纳推理思想
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理
另外,还有概率统计思想等数学思想,例如概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题,如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等.另外,还可以用概率方法解决一些面积问题.
数学常用的数学思想方法主要有：用字母表示数的思想,数形结合的思想,转化思想 (化归思想)，分类思想，类比思想，函数的思想，方程的思想，无逼近思想等等。
1.用字母表示数的思想：这是基本的数学思想之一 .在代数第一册第二章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。
2.数形结合：是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。
3.转化思想：在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。
4.分类思想：有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。
5.类比：类比推理在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义.它能触类旁通，启发思考，不仅是解决日常生活中大量问题的基础，而且是进行科学研究和发明创造的有力工具.
6.函数的思想 ：辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。
7.方程：是初中代数的主要内容.初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，在初中阶段就要形成方程的思想.所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，
扩展资料：函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用。
参考资料：百度百科-数学思想
一、单项选择题
1
．算法的有效性是指（
C
）
。
C
．如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解
22
．算法大致可以分为（
A
）两大类。
A
．多项式算法和指数型算法
2
．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，
（
A
）的一种思想方法。由数思形、见形思数、数形结合考虑问题
11
．所谓类比是指（
B
）
。
B
．由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法
13
．所谓数学模型方法是（
A
）
。
A
．利用数学模型解决问题的一般数学方法
27
．所谓统一性，就是（
C
）之间的协调。
C
．部分与部分、部分与整体
40
．所谓特殊化是指在研究问题时，
（
D
）的思想方法。
D
．从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的
较小集合
42
．
古代数学大体可分为两种不同的类型：
一种是崇尚逻辑推理，
以
《几何原本》
为代表；
一种是长于
（
A
）
，
以
《九
章算术》为典范。
A
．计算和实际应用
4
．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（
B
）的趋势。
B
．数学的各个分支相互渗透和相互结合
14
．数学模型具有（
C
）特性。
C
．抽象性、准确性和演绎性、预测性
20
．数学模型可以分为三类：
（
C
）
。
C
．概念型、方法型、结构型
21
．数学的第一次危机是由于出现了（
C
）而造成的。
C
．无理数（或
2
）
38
．数学的第二次危机是
17
世纪伴随牛顿和莱布尼兹创立（
A
）而产生的。
A
．微积分
47
．数学思想方法教学主要有（
B
）三个阶段。
B
．多次孕育、初步理解、简单应用
49
．在数学学科中人们常常把研究确定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学，如代数、几何、方程、微积分
等。但是确定数学无法定量地揭示（
）
，它的这种局限性迫使数学家们建立一种专门分析（
A
）的数学工具。这
个数学工具就是（
）
。
A
．随机现象
随机现象
概率理论和数理统计
6
．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是（
B
）
。
B
．古希腊欧几里得的《几何原本》
9
．在化归过程中应遵循的原则是（
A
）
。
A
．简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则
5
．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：
（
B
）
。
B
．潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段
7
．随机现象的特点是（
A
）
。
A
．在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果
8
．演绎法与（
D
）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
D
．归纳法
10
．
（
C
）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质
都具有十分重要的作用。
C
．数学思想方法
12
．猜想具有两个显著特点：
（
D
）
。
D
．科学性与推测性
15
．概括通常包括两种：经验概括和理论概括。
而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上
升为普遍的认识——（
A
）的认识。
A
．由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性
16
．三段论是演绎推理的主要形式，它由（
D
）三部分组成。
D
．大前提、小前提和结论
17
．传统数学教学只注重（
B
）的传授，
而忽略对知识发生过程中（
）的挖掘。
B
．形式化数学知识，数学思想方法
18
．特殊化方法是指在研究问题中，
（
B
）的思想方法。
B
．从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合
的较小集合包含于该区间的较小区间
19
．分类方法的原则是（
D
）
。
D
．不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分
23
．反驳反例是用（
D
）否定（
）的一种思维形式。
D
．特殊
一般
24
．类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是（
B
）
。
B
．联想
类比
猜测
25
．归纳猜想是运用归纳法得道的猜想，它的思维步骤是（
D
）
。
D
．特例
归纳
猜测
28
．中国《九章算术》
（
A
）的算法体系和古希腊《几何原本》
（
）的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交
相辉映。
A
．以算为主
逻辑演绎
30
．公理化方法就是从（
D
）出发，按照一定的规定定义出其它所有的概念，推导出其它一切命题的一种演绎方法。
D
．初始概念和公理
39
．我国《数学课程标准》
（实验稿）的总体目标指出，数学知识包括（
B
）和
(
）
。
B
．数学事实
数学活动经验
43
．不完全归纳法是根据
D
）
，作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。
D
．对某类事物中的部分对象的分析
44
．公理化的三条逻辑上的要求是（
D
）
。
D
．独立性、无矛盾性、完备性
45
．
《九章算术》系统地总结了先秦和东汉初年我国的数学成就，经过历代名家补充、修改、增订而逐步形成，现传世
的《九章算术》是三国时期魏晋数学家（
B
）注释的版本。
B
．刘徽
46
．
《几何原本》
是一本极具生命力的经典著作，
全书共十三卷
475
个命题，
包括
5
个
（
C
）
、
5
个
（
）
。
C
．
公式
公
理
48
．化隐为显原则是数学思想方法教学原则之一，它的含义就是把隐藏在数学知识背后的（
A
）显示出来，使之明
朗化，以达到教学目的。
A
．数学思想方法
一、
填空题
1
古代数学大致可以分为两种不同的类型，
一种是崇尚逻辑推理，
以
《几何原本》
为代表；
一种是长于计算和实际应用，
以（《九章算术》）为典范。
19
、在化归过程中，应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）
20
、在计算机时代，（计算方法）已经成为与理论方法，实验方法并列的第三种科学方法。
3
、《几何原本》所开创的（公理化）方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发
展。
9
．
在数学学科中人们常常把研究确定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学，
如代数、
几何、
方程、
微积分等。
但是确定数学无法定量地揭示
（随机现象）
，
它的这种局限性迫使数学家们建立一种专门分析
（随机现象）
的数学工具。
这个数学工具就是（概率理论和数理统计）
。
17
．在古代的（游戏和赌博）活动中就有概率思想的雏形，但是作为一门学科则产生于
17
世纪中期前后，它的起源与
一个所谓的点数问题有关。
18
．在数学中建立公理体系最早的是（几何学）
，而这方面的代表著作是古希腊学者欧几里得的（
《几何原本》
）
4
、推动数学发展的原因主要有两个：（
1
）（实践的需要，（
2
）理论的需要）数学思想方法的几次突破就是这两种需
要的结果
5
、变量数学产生的数学基础是（解析几何），标志是（微积分）
6
、（数学基础知识和数学思想方法）是数学教学的两条主线。
7
、随机现象的特点是（在一定条件下，看你发生某种结果，也困难不发生某种结果。
8
、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征（两边相等）加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。
9
、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段，（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）
10
、数学的统一性是客观世界统一性额反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支
相互渗透和相互结合）的趋势。
34
、数学从研究对象大致可以分成两大类，（数量关系、空间形式）
7
．数学思想方法教学主要有（多次孕育、初步理解、简单应用）三个阶段。
44
．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支
相互渗透和相互结合）的趋势。
15
．数学研究的对象可以分为两类：一类是（研究数量关系的）
，另一类是（研究空间形式的）
。
20
．数学知识与数学思想是数学教学的两条主线，
（数学知识）是一条明线，它被写在教材中；
（数学思想）则是一条
暗线，需要教师挖掘、提炼并贯穿在教学过程中。
26
．数学的第一次危机是由于出现了（不可公度性）而造成的。
27
．数学猜想具有两个明显的特点：
（科学性）与（推测性）
。
55
．数学模型可以分为三类：
（
概念型、方法型、结构型）
。
68
．数学模型具有（抽象性、准确性和演绎性、预测性）特性。
10
．根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识阶段、明朗化阶段和深刻理解阶段等三个阶段，可相应地将小学数学
思想方法教学设计
成多次孕育、初步理解、简单应用
三个阶段。
11
、强抽象就是指通过（把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。
