已知向量组α1,α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，求向量组α1，α2，α3，α4的秩

求向量组的秩及其一个极大线性无关组α1=﹙0，1，1）α2=（1，0，1）α3=（2，1，0）α4=（1，1，1）~

解: (α1',α2',α3',α4') =
0 1 2 1
1 0 1 1
1 1 0 1

r3-r1-r2
0 1 2 1
1 0 1 1
0 0 -3 -1

r1r2
1 0 1 1
0 1 2 1
0 0 -3 -1

所以向量组的秩为3, α1,α2,α3是一个极大无关组.
[注:
1.不管向量组给的是行向量还是列向量, 构造矩阵时都转化成列向量
然后进行初等行变换.
2.这类题目化成梯形就可以了.
非零行数就是向量组的秩.
非零行的首非零元所在列对应的向量,就是一个极大无关组.]

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通解为齐次方程通解+非齐次方程特解，由于r(A)=3，n-r(A)=1，所以通解为k*(η1+η2+η3)+η1=k*（3，4，5，6）T+（2，3，4，5）T
因为ξ1，ξ2，ξ3为非齐次线性方程组的三个解向量，而且非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3。
根据定义，非齐次线性方程组的表达式为：Ax=b。所以将ξ1，ξ2，ξ3代入Ax=b得到，Aξ1=b，Aξ2=b，Aξ3=b等式两边成立。因为非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，根据解的结构知，Ax=b的基础解析只有一个。
解法
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）

由于向量组 a1、a2、a3 线性相关，因此向量组 a1、a2、a3、a4 线性相关 ，则秩小于 4 ；
又由于 a2、a3、a4 线性无关，则秩大于或等于 3 ，
所以所求秩 = 3 。

已知向量组α1,α2,α3线性无关,证明向量组α1+α2,α1-α2,α3线性...
答：C=[a1+a2,a1-a2,a3] = [a1,a2,a3] * [1,1,0; 1,-1,0; 0,0,1] = A * P 显然P的行列式|P| != 0，所以P可逆；因为A的列向量组a1,a2,a3无关，所以，C的列向量组a1+a2,a1-a2,a3性无关。

已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则
答：B.2(α1−α2)+(2α2 −α3) +(α3 −α4)+ (α4 − 2α1)=0，∴4个向量线性相关。C.系数行列式 |1..2..0..0| |0..1..1..0| |0..0..1...1| |-2.0..0...1|，按第一行展开，得 |1..1...0| |0..1..1| |0..0..1|-2 |...

线性代数:向量组α1,α2,α3,α4,其中α3,α4均可以用α1,α2线性表 ...
答：根据定义，向量组的秩是向量组的极大线性无关组的向量的个数，已知a3,a4可以被a1,a2线性表示，那么极大线性无关组如果不包含a3,a4那么只可以是a1,a2，或者只有a1，或者只有a2，这三种情况，秩只能是1或者2，所以秩≤2

已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组( )A.α1+α2,α2+α3...
答：①对于选项A：∵（α1+α2）+（α3+α4）=（α2+α3）+（α4+α1），∴α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性相关．∴选项（A）不正确；②对于选项B：∵（α1-α2）+（α2-α3）=-（α3-α4）-（α4-α1），∴α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性相关．...

高数线代高手进!!!
答：所以应该这样证明 已知向量组a1，a2，a3线性相关 则 k1a1+k2a2+k3a3=0有不全为0的k1.k2.k3，又 向量组α2、α3、α4线性无关 则 由定理得 向量组a2，a3线性无关 则上式中k1一定不为0(可以用反证法证明)所以 a1=k2/k1 a2+k3/k1 a3(即是a1可以用a2，a3线性表示)有 秩r（α1，...

如果向量组α1,α2, α3能被向量组β1,β2线性表示,试证向量组α1,α...
答：由已知, r(α1,α2, α3) <= r(β1,β2) <=2 所以 α1,α2, α3 线性相关

已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则下列说法正确的是:
答：找规律填数:1,1,2,3,5,8,13,( ),( )

已知向量组α1,α2,α3线性无关,向量组β1=α1+2α2,β2=-α1+α2...
答：为了证明向量组β1，β2，β3线性相关，我们需要找到一组不全为零的实数c1，c2，c3，使得它们的线性组合等于零向量，即：c1β1 + c2β2 + c3β3 = 0 根据β1，β2，β3的定义，我们可以将其表示为α1，α2，α3的线性组合：c1(α1+2α2) + c2(-α1+α2-3α3) + c3(3α1+6...

线性代数题,降β用向量组α1,α2,α3线性表示,要详细解答过程,最好发图...
答：简单计算一下即可，答案如图所示

设向量组α1,α2,α3线性无关,β1=α1+2α2+α3,β2=α1+α2+α3,β...
答：因为 α1,α2,α3 线性无关 所以 k1+k2+k3 = 0 2k1+k2+3k3 = 0 k1+k2+4k3 = 0 因为系数行列式 1 1 1 2 1 3 1 1 4 = -3 ≠ 0 所以方程组只有零解:k1=k2=k3=0 所以 β1,β2,β3 线性无关.另证:由已知 (β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)P 其中P= 1 1 1 2...