用拉格朗日中值定理证明不等式

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用拉格朗日中值定理证明不等式介绍如下：

利用拉格朗日中值定理证明不等式：当h＞0时，h／（1＋h^2）＜arctan h＜h。

令f（x）＝arctanx，则f'（x）＝1/（1＋x^2） 由拉格朗日中值定理有存在实数c，使得f（x）－f（x0）＝f'（c）（x－x0） 再此取x0＝0，则f（0）＝0 应用上面的等式，便有arctanx=x/(1+c^2)，其中0＜c＜x 又由0＜c＜x知1＜1＋c^2＜1＋x^2 所以1/（1＋x^2） ＜1/（1＋c^2） ＜1 又因为x＞0，所以x/(1+x^2)<x/(1+c^2)<x 故原不等式成立。

拉格朗日中值定理证明过程如下：

设f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，求证：存在ξ∈(a,b)，使f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。证：构造F(x)=[f(b)-f(a)]x-f(x)(b-a)显然F(x)在[a,b]连续，(a,b)可导F(a)=[f(b)-f(a)]a-f(a)(b-a)=af(b)-bf(a)F(b)=[f(b)-f(a)]b-f(b)(b-a)=af(b)-bf(a)则F(a)=F(b)。

因此，由罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使F'(ξ)=0由F'(x)=[f(b)-f(a)]-f'(x)(b-a)，则[f(b)-f(a)]-f'(ξ)(b-a)=0即f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。

资料扩展：

拉格朗日定理，数理科学术语，存在于多个学科领域中，分别为：微积分中的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；群论中的拉格朗日定理(群论)。

拉格朗日介绍：

约瑟夫·拉格朗日全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。

出身：

拉格朗日父姓拉格朗日亚。拉格朗日在都灵出生受洗记录上的正式名字为约瑟普·洛德维科·拉格朗日亚。父名弗朗切斯科·洛德维科·拉格朗日亚；母名泰雷萨·格罗索。

他曾用过的姓有德·拉·格朗日，拉·格朗日等。去世后，法兰西研究院给他写的颂词中，正式用约瑟夫·拉格朗日。父系为法国后裔。曾祖是法国骑兵上校，到意大利后与罗马家族的人结婚定居；祖父任都灵的公共事务和防务局会计，又同当地人结婚。父亲也在都灵同一单位工作，共有11个子女，但大多数夭折，拉格朗日最大。

利用拉格朗日中值定理证明不等式
答：【直观来看，即存在一点不在(a,f(a))、(b,f(b))所在的直线y=f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a) *(x-a)上】若f(c)>f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a) *(c-a) ，则[f(c)-f(a)]/(c-a) > [f(b)-f(a)]/(b-a) 由 由拉格朗日中值定理即得结论。若f(c)<f(a)+[f(b...

高数,证明不等式,用拉格朗日吗?想看过程
答：方法一:见上图。步骤如下:1.够构造函数2.用拉格朗日中值定理。3.将导数部分进行放大，缩小。即可以证出。方法二:可以构造函数，用单调性证不等式。

证明不等式(中值定理)?
答：回答：根据拉格朗日中值定理,存在b<c<a满足 1/c = (lna-lnb)/(a-b) 所以1/a <1/c < 1/b 即 1/a < (lna-lnb)/(a-b) < 1/b 就是(a-b)/a < ln(a/b) < (a-b)/b

利用拉格朗日中值定理证明下列不等式:
答：设f(x)=lnx，则f'(x)=1/x ∵0＜a＜b ∴f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，即满足拉格朗日中值定理的所有条件。∴存在ξ∈(a，b)，使得 f'(ξ)=1/ξ=[f(b)-f(a)]/(b-a)∵0＜a＜ξ＜b ∴1/b＜1/ξ＜1/a ∴1/b＜[f(b)-f(a)]/(b-a)＜1/a ∴(b-a)/...

用拉格朗日中值定理证明不等式e的x次方>1+x(x不等于0)?
答：设f(t)=e^t,当x>0时,在[0,x]上f(t)满足拉格朗日中值定理条件 於是存在ξ∈(0,x),使f'(ξ)*(x-0)=f(x)-f(0)即e^ξ*x=e^x-1 又因为ξ>0,所以e^ξ>e^0=1 所以e^x-1=e^ξ*x>x,即e^x>1+x 当x<0时同理可证 ...

设x>-1,用拉格朗日中值定理证明不等式x/x+1≤ln(x+1)≤x
答：[[[1]]]先证明又边不等式构造函数f(x)=x-ln(1+x),x＞-1.[[1]]当-1＜x＜0时,易知,在区间[x,0]上,由拉格朗日中值定理可知,存在ξ∈(x,0)满足f(0)-f(x)=f'(ξ)×(0-x)∴ln(1+x)-x=-xξ/(1+ξ)易知,-xξ/(1+ξ)＜0∴ln(1+x)＜x[[2]]当x=0时,显然,ln(x...

应用拉格朗日中值定理证明:当b>a>0时,不等式x*(b-a)*a的X-1次幂
答：设函数f(t)=t^x,在[a,b]上连续，在（a,b)上可导，这里将X当成常数的这条题。由拉格朗日定理得f(b)-f(a)=f ' (ε)(b-a)相当于b^x-a^x=x(b-a)ε^(x-1) 其中a<ε<b x(b-a)a^(x-1)<x(b-a)ε^(x-1)=b^x-a^x，证毕 ...

请用拉格朗日中值定理证明两个不等式
答：f(x)-f(1)=f'(ξ)(x-1)=(e^ξ-e)*(x-1)，ξ在1和x之间 当x＞1时，ξ＞1，(e^ξ-e)＞0，(x-1)＞0，那么f(x)-f(1)＞0 当x＜1时，ξ＜1，(e^ξ-e)＜0，(x-1)＜0，那么f(x)-f(1)＞0 所以x≠1时，f(x)-f(1)＞0，即e^x＞ex 哪里不懂可以继续问我 ...

用中值定理证明下列不等式。
答：令f(t)=ln(1+t)，(t>=0)显然，对∀x>0，f(t)在[0,x]内连续，在(0,x)上可导，则根据拉格朗日中值定理，存在k∈(0,x)，使 f'(k)=[f(x)-f(0)]/(x-0)1/(1+k)=ln(1+x)/x ln(1+x)=x/(1+k)因为x/(1+x)<x/(1+k)<x/(1+0)=x 所以x/(1+x)<ln(...

高等数学利用拉格朗日证明不等式的问题
答：你好！你理解的非常正确，那个点（或者可能有不止一个）是依存与函数f和区间[a,b]而客观存在的，如果直接人为指定那个点的值，那是绝对错误的！但是我们仍然可以运用拉格朗日中值定理来证明不等式，原因并不在于我们可以指定任意一点c的值，而是在于我们可以找出f'(c)的范围，因为c是在区间(a,b)上的...