高二数学数列问题～ 求详细过程！！
a(n+1)= ( an+6 )/(3an -2)
a(n+1) -2 = ( an+6 )/(3an -2) -2
= (-5an+10)/(3an-2)
1/[a(n+1) -2] = -(1/5) . [(3an -2) /(an -2) ]
=-(1/5)[ 3 + 4/(an -2) ]
= -(4/5)[ 1/(an-2) ] - 3/5
1/[a(n+1) -2] + 1/3 = -(4/5) [ 1/(an-2) + 1/3]
=> {1/[an -2] + 1/3} 是等比数列, q= -4/5
1/(an -2) + 1/3 = (-4/5)^(n-1) . (1/(a1 -2) + 1/3)
=-(2/3). (-4/5)^(n-1)
an =1/[ -1/3 -(2/3). (-4/5)^(n-1) ] + 2
本题是运用放缩法的典型题目，就是通过放缩转化为熟悉的等比数列求和。
证：
3>2>1，3ⁿ>2ⁿ，3ⁿ-2ⁿ>0，an>0，即数列各项均为正。
a1=3¹-2¹=1，1/a1=1
[1/a(n+1)]/(1/an)=[1/(3ⁿ+¹ -2ⁿ+¹ )]/[1/(3ⁿ -2ⁿ )]
=(3ⁿ-2ⁿ)/(3ⁿ+¹ -2ⁿ+¹)
=⅓(3ⁿ+¹-3·2ⁿ)/(3ⁿ+¹ -2ⁿ+¹)
=⅓[(3ⁿ+¹ -2ⁿ+¹)-2ⁿ]/(3ⁿ+¹ -2ⁿ+¹)
=⅓[1- 2ⁿ/(3ⁿ+¹ -2ⁿ+¹)]
=⅓-2ⁿ/(3ⁿ+² -3·2ⁿ+¹)
2ⁿ/(3ⁿ+² -3·2ⁿ+¹)>0，⅓-2ⁿ/(3ⁿ+² -3·2ⁿ+¹)<⅓
[1/a(n+1)]/(1/an)<⅓
1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an
<1+1·⅓+1·⅓²+...+1·⅓ⁿ⁻¹
=1·(1-⅓ⁿ)/(1-⅓)
=(3/2)·(1-⅓ⁿ)
=3/2 -3/(2·3ⁿ)
3/(2·3ⁿ)>0，3/2 -3/(2·3ⁿ)<3/2
1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an<3/2，不等式成立。
答案如图
解：(I)a2=2a1+2/3=8/3，a3=(3/2)a2+2/4=9/2，a4=(4/3)a3+2/5=32/5。
(II)，∵an+1=(1+1/n)an+2/(n+2)=[(n+1)/n]an+2/(n+2)，
∴an+1/(n+1)=an/n+2/[(n+2)(n+1)]，即an+1/(n+1)-an/n=2[1/(n+1)-1/(n+2)]。
对其从1到n求和，有an+1/(n+1)-a1/1=2[1/2-1/(n+2)]。
∴an=na1+2n[1/2-1/(n+1)]n+n[1-2/(n+1)]，
∴an=(2n^2)/(n+1)。供参考。
a1=2/2，
a2=8/3
a3=18/4
a4=32/5
