已知P点是等腰三角形ABC的底边BC上的一点，PM垂直AB于M，PN垂直AC于N，用分析法证明PM加PN为定值。
在AC上任取一点P，连接PM、PN
容易知道MN平行AC，而且点P到MN距离为定值。
设角PMN=θ，角PNM=α。令P到MN距离为H
所以PM+PN=(H/sinθ)+(H/sinα)=H(1/sinθ+1/sinα)
由均值不等式知道，当1/sinθ=1/sinα时，取最小
所以θ=α。所以PM=PN时为最小
设D为AC中点，所以(DM+DN)为最小值=2
所以DM=DN=1
因为ABC为等腰三角形，角ABC=120度
所以角MDN=120度
所以MN=根号3
所以AC=2倍根号3
所以AB=BC=2
所以三角形周长=2+2+2倍根号3=4+2倍根号3
题目有问题。应该为“已知三角形ABC为等腰三角形，P为底BC上一点，PM垂直于AB，PN垂直于AC.,BD垂直于AC.求证：PM+PN=BD（下次记得把题目抄好啊！）
证明：（采用最简单方法）
连接AP
以AB和AC为底，
s⊿ABC =(AB*MP)/2+(AC*PN)/2 =AC*(PM+PN)/2 (因为 AB=AC)
以AC为底，
又s⊿ABC =（AC*BD）/2
所以，BD=PM+PN
本题得证。
要证明PM+PN是定值，只要证明NG是定值
过B点作AC边上的高BH，因为等腰三角形是已知的，一腰上的高BH是定值
那么只要证明NG=BH即可
于是由于BH垂直于AC，PN垂直于AC，BH//PN
因此只要证明四边形BGNH是平行四边形，也就是证明BG//AC即可
要证明BG//AC，只要证明<GBC=<C
因此，需要三角形BPM和三角形BPG全等
由于PB是公共边，PM=PG，那么只要<BPM=<BPG 即可
而<BPG和<CPN是对顶角
因此只需 <BPM=<CPN
而直角三角形BPM和直角三角形CPN中，由于AB=AC，则<ABC=<C
那么，<BPM=<CPN
由此，可知 PM+PN=BH是定值
这样的题，最好还是用“综合法”或者“演绎法”，因为你所谓的“定值”其实并未给出，（尽管都知道，那个定值就是腰上的高）无法由“结论”推向“条件”。（除非首先给一个“猜想”，然后用所谓“分析法”证明那个猜想。）
将三角形ACP绕A点旋转，使得AB边与AC边重合，得到P旋转后的点位P’，这时你就会发现PM,PN两条边的长度和即为PP‘的距离为定值
已知p是等腰三角形ABC底边BC上一任意点,求证:AB的平方—AP的平方=PB...
答：△ABC的三个角分别为：∠A=A,∠B=B,∠C=C,∠B=∠C,AB=AC 在△ABP中，根据余弦定理有 AP^2=AB^2+BP^2-2AB*BPcosB <1> 在△ABP中，根据余弦定理有 AP^2=AC^+PC^2-2AC*PCcosC =AB^2+PC^2-2AB*PCcosB <2> <1>—<2>，有0=BP^2-2AB*BPcosB —(PC^2-2AB*P...
已知点P是等腰直角三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,如图,若P在斜边AC...
答：已知 ABC 是等腰直角三角形，AC是斜边 设 AB=BC=a 因为 角A=角C=45度，cos45度=√2 所以，PB^2=BC^2+PC^2-√2*a*PC PB^2=AB^2+PA^2-√2*a*PA 于是 2*PB^2=PA^2+PC^2+BC^2+AB^2-√2*a*(PC+PA)=PA^2+PC^2+AC^2-AC^2 =PA^2+PC^2 ...
已知:如图,设P是等腰直角三角形ABC的直角边AC的中点,AD垂直BP于E,AD交...
答：证明：过点C作CF⊥AC交AD的延长线于F ∵∠BAC＝90,AB＝AC ∴∠ABC＝∠ACB＝45, ∠ABP+∠APB＝90 ∵AD⊥BP ∴∠CAF+∠APB＝90 ∴∠CAF＝∠ABP ∵CF⊥AC ∴∠ACF＝∠BAC＝90 ∴△ABP≌△CAF （ASA）∴CF＝AP，∠APB＝∠F ∵P是AC的中点 ∴AP＝CP ∴CP＝CF ∵∠FCD＝∠ACF-∠...
点P是等腰直角三角形ABC底边BC上一点,过点P作BA,AC的垂线,垂足是E,F...
答：连接AD，AD=BD，角B=角DAC=45度，角ADB=90度，四边形EPFA是矩形，AF=EP=BE 三角形BED和FAD全等，角EDB=角ADF，角EDF=角QDF+角ADE=角ADE+角EDB=角ADB=90度，DE垂直DF 若点P在BC的延长线上时,仍有DE垂直DF.证明方法同上
如图,点P为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点,PE垂直AB于E,PF垂直AC于...
答：PE+PF＝BD 证明：∵PE⊥AB，AB＝AC ∴S△ABP＝AB×PE/2＝AC×PE/2 ∵PF⊥AC ∴S△ACP＝AC×PF/2 ∵BD⊥AC ∴S△ABC＝AC×BD/2 ∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC ∴AC×PE/2+ AC×PF/2＝AC×BD/2 ∴PE+PF＝BD
如图,点P是等腰直角三角形ABC底边上一点,过点P作BA,AC的垂线,垂足分别...
答：（1）角A=90°，A在上，B在左 因为：△ABC是等腰直角三角形 角A=90°，PE垂直AB，PF垂直AC 所以：角PEA=角PFA=90° 故：四边形AEPF是矩形 AE=PF 在△PCF中 因为：角PFC=90°，角C=45° 所以：角FPC=45° PF=CF=AE 同理：AD=CD 在△AED和△CFD中 因为：AD=CD，AE=CF，角EAD=角...
已知点P为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点,说明AP的平方+BP的平方=2C...
答：这个很简单的啊,∵CP⊥AB∴∠CPA=∠BPA=90度∵△CBA是等腰直角三角形∴∠B=∠A=45度∵△CPA和△CPB都是直角三角形∴∠B=∠BCP=45度,∠A=∠PCA=45度∴BP=CP,CP=PA∴BP=CP=PA∴BP^2+PA^2=2CP^2画了个图:http://hiphotos.baidu.com/%CA%B1%C9%D0%C0%D6%D4%B0/pic/item/...
点P是等腰直角三角形ABC底边BC上延长线上一点,过P作BA、BC的垂线,垂足...
答：角A=90°，A在上，B在左 因为：△ABC是等腰直角三角形 角A=90°，PE垂直AB，PF垂直AC 所以：角PEA=角PFA=90° 故：四边形AEPF是矩形 AE=PF 在△PCF中 因为：角PFC=90°，角C=45° 所以：角FPC=45° PF=CF=AE 同理：AD=CD 在△AED和△CFD中 因为：AD=CD，AE=CF，角EAD=角C=45...
点P是等腰直角三角形ABC底边上一点,过点P作BA,AC的垂线,垂足分别为E...
答：(1).连接AD.AD=BD,∠DAF=∠DBE=45度，AF=EP=BE,△DAF≌△DBE,∠FDA=∠EDB.∠EFD=∠EDA+∠FDA=∠EDA+∠EDB=∠ADB=90度，DE⊥DF.(2).)若点P在BC的延长线上时,仍有DE⊥DF.证明方法同上.
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P是三角形内一点,且角APB=角APC,试说明...
答：解:作∠CAP'=∠BAP,使AP'=AP,点P'与P在AC两侧,连接P'C,PP'.∵AP'=AP;∠CAP'=∠BAP;AC=AB.∴∠APP'=∠AP'P;且⊿CAP'≌⊿BAP(SAS),P'C=PB;∠AP'C=∠APB.又∠APB=∠APC,则:∠APC=∠AP'C(等量代换).∴∠APC-∠APP'=∠AP'C-∠AP'P,即∠CPP'=∠CP'P.故PC=P'C=PB....
