考研高数：二重积分 希望给出较为详细的分析思路和解答过程！ 回答的好，会再加分！

考研高数：微分方程。希望给出较为详细的分析思路和解答过程！ 回答的好，会再加分！~

1
y''-xy'-y=1
y''-(xy'+y+1)=0
(y+1)''=y'' y'=(y+1)'
(y+1)''-(x(y+1)'+(y+1))=0
(y+1)''=(xy+x)'
设u=y+1
u''=(xu)'
du'/dx=d(xu)/dx
d(xu)=du'
xu+C0=u'
x(y+1)+C0=(y+1)'
xy+x+C0=(y+1)'
(y+1)'|x=0 = y'|x=0=0
C0=0
xu=u'
du/u=xdx
lnu=x^2/2+C1
u=Ce^(x^2/2)
y+1=Ce^(x^2/2)
y(0)=0
C=1
特解y=e^(x^2/2)-1

2
如果方程是(x^2-1)dy + (2xy-cosx)dx=0
x^2dy+ydx^2=d(sinx+y)
d(x^2y)=d(sinx+y)
x^2y=sinx+y+C0
y(0)=1
0=1+C0
C0=-1
特解 x^2y=sinx+y-1

1.代换 t=(pi/2)-x 得到的关于t的定积分式与原式相加

2.先不管极限 把1/(1+x^2)并入d中得darctgx 再做代换t=arctgx 即有tgt=x 原式变为∫(tgt)^n dt(积分限上arctg(1/2)下0) 此式难求试用放缩 利用在被积区域上式t≤tgt≤1/2成立 构建放缩积分式并求出再取极限迫敛即得

这两个题目实质上都是有关积分区域的分解为题。具体思路如下
第一题，在区域上补上一条-X的三次方曲线，这样可以把区域化为两个，分别关于X,Y轴对称的区域，而后利用二重积分的对称性求解，你会发现后者的积分为0，就剩下对X的二重积分了，答案很简单，我算出来是0.4
第二题，在积分区域上补上一条y=1的曲线，而后将区域分成两个，分别二重积分，就可以算出来了，答案也很简单。

如图