数学 初等数论 证明不存在整数m、n，使得m^2=n^2+2。并归纳推广出一般结论。 怎样归纳推

是否存在正整数m，n，使得m(m+2)=n(n+1)~

m(m+2)=n(n+1)可化为m²+2m=n²+n
即(m²-n²)+(m-n)=-m
(m+n)(m-n)+(m-n)=-m
(m+n+1)(m-n)=-m
(m+n+1)(n-m)=m
如果存在m、n为正整数
则(n-m)≥1
所以m=(m+n+1)(n-m)≥m+n+1
即n+1≤0
此结论不成立
所以不存在正整数m，n，使得m(m+2)=n(n+1)

a=m^2+n^2
b=m^2-n^2
c=2mn
b^+c^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2
=m^4-2m^2*n^2+n^4+4m^2*n^2
=m^4+2m^2*n^2+n^4=(m^2+n^2)=a^2
即：b^2+c^2=a^2
所以，m^2+n^2,m^2-n^2,2mn这三个数就是一组勾股数组。

假设存在m,n
2n^2+2n=m^2+1,由于左边是偶数,因此m^2必为奇数,m=2k+1
2n(n+1)=(2k+1)^2=4k^2+4k+2=2(2k^2+2k+1)
n,n+1中必有一个是偶数,故2n(n+1)是4的倍数,但2k^2+2k+1是奇数
2(2k^2+2k+1)不是4的倍数,矛盾

马克一下，一会再来想