平面向量和三角形四心(重心，垂心，外心，内心)的关系及证明。
重心中线交点，垂心高的交点，外心中垂线交点，内心角平分线交点。
1、若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2、若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）
3、若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4、若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5、AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6、AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7、AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8、若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点
扩展资料：
三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
证明
三角形的三条角平分线必交于一点
己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC
求证：OC平分∠ACB
证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F
∵AO平分∠BAC,∴OD=OF；∵BO平分∠ABC,∴OE=OF ；∴OD=OF
∴O在∠ACB角平分线上 ∴CO平分∠ACB
性质
1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
3、r=2S/(a+b+c)
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
5、∠BOC = 90 °+∠A/2， ∠BOA = 90 °+∠C/2， ∠AOC = 90 °+∠B/2
6、S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)
参考资料来源：百度百科-三角形的四心
这是我整理的一些内容,希望对你有所帮助：
【一些结论】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）
3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】
因字数限制会在下面补充回答，希望可以帮到你
重心中线交点 垂心高的交点 外心中垂线交点 内心角平分线交点
第2个。。
三角形的重心、垂心、内心和外心各是什么?
答：三角形的中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。三角形的重心：三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。重心分中线比为1：2。三角形的内心：三条角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称。到三边距离相等。三角形的...
数学上的四心。主要详解
答：三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心和内心称之为三角形的四心。三角形四心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理的总称。 一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角...
三角形的中心怎么确定?
答：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数.5、三角形内到三边距离之积最大的点。6、在△ABC中，若MA向量+MB...
三角形的内部有几个点?
答：三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。三角形“四心”的向量形式：一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其...
三角形垂心平面向量定理证明推导过程
答：等边三角形四心合一（重、内、外、垂）,设中心为点O,（向量）OA*OB+OB*OC+OC*OA=-3/2|OA|²所以没戏了,四个心和都不会为0.题目应该有误吧
奔驰定理与三角形四心问题
答：且全国卷80%可能性都考得比较简单，主要是线性运算和坐标及模的简单应用（浙江卷几乎每年都是压轴或者准压轴小题）；但平面向量依然是非常重要的一个知识板块，原因是经常和其他章节结合，且往往充当题目的题眼，如：解析几何、三角函数、简易逻辑等章节，其中和解析几何结合还经常涉及到三角形四心。
怎样求三角形的重心?
答：三角形的中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，这个心是三角形的中心。三角形重心：三角形三条中线的交点即为三角形重心。性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3、重心到三角形3个顶点...
三角形的中心,重心,垂心,内心,外心。五心的定义和性质是什么?_百度...
答：如果你知道了三角形的重心，垂心，内心，外心，那么对以等边三角形，这四心是合一的，也叫中心，中心具有所有四心的性质。需要补充的是三角形还有一个旁心，通常把三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。...
什么叫三角形的中心,重心,外心?
答：三角形的中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。三角形的重心：三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。重心分中线比为1：2。三角形的内心：三条角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称。到三边距离相等。三角形的...
平面向量与三角形四心
答：如图所示
