已知函数 （1）当 时，求函数 的单调递增区间；（2）记函数 的图象为曲线 ，设点 是曲线 上的不同
作者&投稿：傅夜 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
已知函数f(x)=x3-x,其图象记为曲线C.(i)求函数f(x)的单调区间;(ii)证明:若对于任~
积分计算曲线与切线所围面积的时候，用的是曲线方程与切线方程之差（暂且用A-B表示）。而两个方程联立结果的形式是A=B，或者A-B=0。
解：（1）（ⅰ）由f（x）=x 3 -x得f′（x）=3x 2 -1= ，当x∈ 时，f′（x）＞0；当x∈ 时，f′（x）＜0；因此，f（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 （ⅱ）曲线C在点P 1 处的切线方程为y=（3x 1 2 -1）（x-x 1 ）+x 1 3 -x 1 ，即y=（3x 1 2 -1）x-2x 1 3 ，由 得x 3 -x=（3x 1 2 -1）x-2x 1 3 ，即（x-x 1 ） 2 （x+2x 1 ）=0，解得x=x 1 或x=-2x 1 ，故x 2 =-2x 1 ，进而有 ，用x 2 代替x 1 ，重复上述计算过程，可得x 3 =-2x 2 和S 2 = ；又x 2 =-2x 1 ≠0，所以 ，因此有 。
（2）记函数g（x）=ax 3 +bx 2 +cx+d（a≠0）的图象为曲线C′，类似于（Ⅰ）（ⅱ）的正确命题为：若对于任意不等于 的实数x 1 ，曲线C′与其在点P 1 （x 1 ，g（x 1 ））处的切线交于另一点P 2 （x 2 ，g（x 2 ）），曲线C′与其在点P 2 处的切线交于另一点P 3 （x 3 ，g（x 3 ）），线段P 1 P 2 ，P 2 P 3 与曲线C′所围成封闭图形的面积分别别为S 1 ，S 2 ，则 为定值．证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g（x）的对称中心 平移至坐标原点，因而不妨设g（x）=ax 3 +hx，且x 1 ≠0，类似（1）（ⅱ）的计算可得 ，故 。
| （1）当 时， 的单调递增区间为 ；当 ， 的单调递增区间为 和 ；（2）函数 不存在“中值相依切线”. |
