如图 已知ab是圆o的直径,点e为圆o上任意一点,ac平分∠bae,交圆o于点c,过点c作cd垂直于ae于d，且dc与bc

如图，已知AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，且AC平分∠BAE交⊙O于C，过C作CD⊥AE，垂足为D．（1）求证：C~

（1）证明：连OC，BC，如图1，∵AC平分∠BAE，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠2=3，∴∠1=∠3，∴AD∥OC．又∵CD⊥AE，∴OC⊥CD．又∵OC是圆O的半径，∴PC是⊙O的切线．（2）解：如图2，连接OD、OC、BC．由（1）知，OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD．过点O作OH⊥AD于点H，则四边形DHOC是矩形，且OH═CD=4，AE=2AH．∵⊙O的直径AB为10，∴OA=5，∴在直角△AOH中，由勾股定理得到：AH=AO2?OH2=52?42=3，∴AE=2AH=6．∵∠ADC=∠ACB=90°，∠DAC=∠DAB，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC=ACAB，即ADAC=AC10，则AC2=10AD．又由勾股定理得到：AC2=AD2+CD2，∴AD2-10AD+16=0．解得 AD=8或AD=2（舍去），故DE=AD-AE=8-6=2．综上所述，AE和ED的长度分别是6、2．

解答：（1）证明：如图，连接OC，∵ED切⊙O于点C，∴CO⊥ED，∵AD⊥EC，∴CO∥AD，∴∠OCA=∠CAD，∵∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠CAD，∴BC=CF，∴BC=CF；（2）解：在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8，根据勾股定理得AE=10，∵CO∥AD，∴△EOC∽△EAD，∴EOEA=OCAD，设⊙O的半径为r，∴OE=10-r，∴10?r10=r6，∴r=154，∴BE=10-2r=52；（3）证明：过C作CG⊥AB于G，∵∠OAC=∠CAD，AD⊥EC，∴CG=CD，在Rt△AGC和Rt△ADC中，∵CG＝CDAC＝AC，∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），∴AG=AD，在Rt△CGB和Rt△CDF中，∵BC＝FCCG＝CD，∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），∴GB=DF，∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，AF+DF+DF=AB，∴AF+2DF=AB．

（1）证明：连OC，BC，如图，
∵∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA．
∴AD∥OC．
又∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD．
∴PC是⊙O的切线．

（2）【解析】
若∠BAE=60°，则∠1=30°，∠P=30°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°．
∴∠3=60°，则△OBC为等边三角形，即BC=AB．
而∠3=∠P+∠4，所以∠4=30°，
∴BC=BP．
∴PB=AB．