已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）对于区间[
（1）∵奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2，奇函数f（-x）=-f（x），解得b=0，可得f′（x）=3ax2+c由题意得b＝0f′(1)＝0f(1)＝2解得，a＝?1b＝0c＝3，∴f（x）=-x3+3x；（2）|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max-f（x）min|=4，根据（1）可得f（x）=-x3+3x；求导得f′（x）=-3x2+3=-3（x2-1）令f′（x）=0，可得x=1或-1，当f′（x）＞0即-1＜x＜1，f（x）为增函数，当f′（x）＜0时即x＞1或x＜-1，f（x）为减函数，f（x）在x=1处取极大值f（1）=2，在x=-1处取得极小值f（-1）=-，2；f（-2）=2，f（2）=-2，∴f（x）max=2，f（x）min=-2，要使对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤c，∴|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max-f（x）min|=4，故c的最小值为4；
对f(x)求导得：f'(x)=3ax^2+2bx+c
由已知f'(x)的图像经过点(1,0)和(2,0)和f'(x)、f(x)函数图象性质知f(x)在(1,0)处取得极大值5
即x0=1
把(1,5)代入到f(x)得a+b+c=5 ...(1)
把(2,0)代入到f'(x)得12a+4b+c=0 ...(2)
再由已知f'(x)经过(1,0)，(2,0)两点，分别代入f'(x)得：
3a+2b+c=0 ...(3)
12a+4b+c=0 ...(4)
(4)-(3)得：9a+2b=0 ...(5)
(2)-(1)得：11a+3b=-5 ...(6)
联立(5)、(6)解得a=2，b=-9
最后代入(1)或(2)解得c=12
可得f′（x）=3ax2+c
由题
已知a,b为正实数,若函数f(x)=ax3+bx+ab-1是奇函数,则f(2)的最小值 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(a,b∈R,且F(x)=f(x)+3ax2+2x+b为奇函数. 已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称,试判断... 已知f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若f(2013)=k,则f(-2013)=( )A.kB.-kC.1... 已知f(x)=ax3+bx+7,若f(-5)=-15,则f(5)= 已知f(x)=ax3+bx-4,其中a,b为常数,若f(-2)=2,f(2)等于多少? 已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+27(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称,试判断... 已知函数f( x)=ax3-2bx2+3cx(a,b,c属于R)的图像关于原点对称 已知f(x)=ax3+bx+7,若f(-5)=-15,则f(5)= 已知f(x)=ax3+bx+5,且f(-3)=-3,则f(3)=__ |
