已知球O的表面积是4π，A B C三点都在球面上，且OA OB OC 两两所成的角都为π／3，则四面体OABC的体积是
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在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝1，OB ＝2，OC＝3，G为三角形ABC 的重~
则球半径R=1，
四面体棱OA=OB=OC=R=1，
因OA OB OC 两两所成的角都为π／3，故以三角形ABC为底，三个侧棱为1，三个侧面三角形是正三角形，底面ABC也是正三角形，
作OH⊥底面ABC，垂足H，则H是底三角形的外（重、内、垂）心，连结AH，交延长交BC于D，AD=√3/2，AH=2AD/3=√3/3，
OH^2=OA^2-AH^2,
OH=√6/3，
S△ABC=（√3/4）*AB^2=√3/4，
VO-ABC=S△ABC*OH/3=(√3/4)* √6/3/3=√2/12.
四面体OABC的体积是√2/12。
椎体体积是底面积*高/3；
由于表面积是4π，故半径是1，所以该正四面体（OB OC 两两所成的角都为π／3）的棱长为1.底面积是1*sqrt（3）/2/2=sqrt（3）/4，底面高，棱以及底面一边的中线构成直角三角形，棱是1，直角边即底面底边中线的2/3，即sqrt（3）/3，故高为sqrt（1-1/3）=sqrt（2/3），所以体积是sqrt（3）/4*sqrt（2/3）/3=sqrt（2）/12.
有两种方法易知球的半径为1又ABC均在球面上可证此四面体是边长为1的正四面体方法一：将此四面体放入一边长为2分之根号2的正方体中则其高为正方体对角线长的2/3 底面积为1/2sin^2(60)然后用体积公式算 方法二：此四面体的体积为正方体体积的1/3最后答案为12分之根号2
A(0,0,1), B(2,0,0), C(0,3,0)所以BA=（-2，0,0），BC=（-2,3,0）
BG=1/3（BC+BA）=（-3/4,1,1/3)
所以OG=OB+BG=（2/3,1,1/3)= 1/3·√14
解：(1)A(0,-4),B(8,-4),O(0,0),C(8,0)
过OB的直线方程LOB:Y=-X/2
设D(M.N)则AD的中点（M/2,(N-4)/2)在LOB上
（N-4)/2=-M/4
2M+N-4=0 (A)
过A,D的直线与LOB垂直
(N+4)/M=2 (B)
由(A),(B)得M=16/5,N=12/5,D(16/5,12/5)
过BD的直线方程为4X+3Y-20=0与X轴的交点E的坐标为（5，0）
所以OE=5
(2)设过O,C,D三点抛物线的解析式为
y=ax^2+bx+c
将O(0,0),C(8,0),D(16/5,12/5)代人得
a= -5/32, b=5/4 c=0
所以 y=-5x^2/32+5x/4
它的顶点F的坐标为（4，5/2)
(4)t秒时P点坐标为（t,-4)
过P，F的直线方程为LPF:y+4=(x-t)*（5/2+4）/(4-t)
LPF与LOB的交点Q((17-t)/32+5t),(t-17)/(64+10t))
当OQ/QB=1/3时直线PF把△FOB分成面积之比为1：3的两部分
此时t=290/39
则球半径R=1，
四面体棱OA=OB=OC=R=1，
因OA OB OC 两两所成的角都为π／3，故以三角形ABC为底，三个侧棱为1，三个侧面三角形是正三角形，底面ABC也是正三角形，
作OH⊥底面ABC，垂足H，则H是底三角形的外（重、内、垂）心，连结AH，交延长交BC于D，AD=√3/2，AH=2AD/3=√3/3，
OH^2=OA^2-AH^2,
OH=√6/3，
S△ABC=（√3/4）*AB^2=√3/4，
VO-ABC=S△ABC*OH/3=(√3/4)* √6/3/3=√2/12.
四面体OABC的体积是√2/12。
椎体体积是底面积*高/3；
由于表面积是4π，故半径是1，所以该正四面体（OB OC 两两所成的角都为π／3）的棱长为1.底面积是1*sqrt（3）/2/2=sqrt（3）/4，底面高，棱以及底面一边的中线构成直角三角形，棱是1，直角边即底面底边中线的2/3，即sqrt（3）/3，故高为sqrt（1-1/3）=sqrt（2/3），所以体积是sqrt（3）/4*sqrt（2/3）/3=sqrt（2）/12.
有两种方法易知球的半径为1又ABC均在球面上可证此四面体是边长为1的正四面体方法一：将此四面体放入一边长为2分之根号2的正方体中则其高为正方体对角线长的2/3 底面积为1/2sin^2(60)然后用体积公式算 方法二：此四面体的体积为正方体体积的1/3最后答案为12分之根号2
