已知：关于 x 的一元一次方程 kx = x +2 ①的根为正实数，二次函数 y = ax 2 ? bx + kc （ c ≠0）的图
作者&投稿：剑骆 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
已知：关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax 2 -bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的~
解：（1）由kx=x+2，得（k-1）x=2，依题意k-1≠0∴x= ，∵方程的根为正整数，k为整数，∴k-1=1或k-1=2，∴k 1 =2，k 2 =3；（2）依题意，二次函数y=ax 2 -bx+kc的图象经过点（1，0），∴0=a-b+kc，kc=b-a，∴ -1；（3）证明：方程②的判别式为△=（-b） 2 -4ac=b 2 -4ac，由a≠0，c≠0，得ac≠0，（Ⅰ）若ac0，故△=b 2 -4ac>0，此时方程②有两个不相等的实数根，（Ⅱ）若ac>0，由（2）知a-b+kc=0，故b=a+kc△=b 2 -4ac=（a+kc） 2 -4ac=a 2 +2kac+（kc） 2 -4ac=a 2 -2kac+（kc） 2 +4kac-4ac=（a-k） 2 +4ac（k-1）∵方程k=x+2的根为正实数，∴方程（k-1）x=2的根为正实数，由x>0，2>0，得k-1>0，∴4ac（k-1）>0，∵（a-k） 2 ≥0，∴△=（a-kc） 2 +4ac（k-1）>0此时方程②有两个不相等的实数根，综上，方程②必有两个不相等的实数根。
与 x 轴交点应该为 (1,0), 那么有 0=a-b+kc.
1，使得x=2/(k-1) 为正整数的k 是有限的，为2，3
（b-a）^2-b^2+ab (b-a)(b-a-b)
2，=--------------------------- = ------------------- = -1
a(b-a) a(b-a)
| 小题1:解：（1）解：由 kx = x +2，得（ k -1） x =2． 依题意 k -1≠0．∴ ． ……………………………………1分 ∵方程的根为正整数， k 为整数，∴ k -1=1或 k -1=2． ∴ k 1 = 2， k 2 =3． …………………………………………………2分 小题2:（2）解：依题意，二次函数 y = ax 2 - bx + kc 的图象经过点（1，0）， ∴ 0 = a - b + kc ， kc = b - a ． ∴ = …3分 小题3:（3）证明：方程②的判别式为Δ=（- b ） 2 -4 ac = b 2 -4 ac ． 由 a ≠0， c ≠0，得 ac ≠0． 证法一： （ i ）若 ac <0，则-4 ac >0．故Δ= b 2 -4 ac >0．此时方程②有两个不相等的实数根．……4分 （ ii ）若 ac >0，由（2）知 a - b + kc =0，故 b = a + kc ． Δ= b 2 -4 ac = （ a + kc ） 2 -4 ac = a 2 +2 kac +（ kc ） 2 -4 ac = a 2 -2 kac +（ kc ） 2 +4 kac -4 ac =（ a - kc ） 2 +4 ac （ k -1）． …………………………………………………5分 ∵方程 kx = x +2的根为正实数，∴方程（ k -1） x =2的根为正实数． 由 x >0， 2>0，得 k -1>0． …………………………………6分 ∴ 4 ac （ k -1）>0． ∵（ a - kc ） 2 ³0， ∴Δ=（ a - kc ） 2 +4 ac （ k -1）>0．此时方程②有两个不相等的实数根． …………7分 证法二： （ i ）若 ac <0，则-4 ac >0．故Δ= b 2 -4 ac >0．此时方程②有两个不相等的实数根．……4分 （ ii ）若 ac >0，∵抛物线 y = ax 2 - bx + kc 与 x 轴有交点， ∴Δ 1 =（- b ） 2 -4 akc = b 2 -4 akc ³0． （ b 2 -4 ac ）-（ b 2 -4 akc ）=4 ac （ k -1）． 由证法一知 k -1>0， ∴ b 2 -4 ac > b 2 -4 akc ³0． ∴Δ= b 2 -4 ac >0．此时方程②有两个不相等的实数根． …………………7分 综上，方程②有两个不相等的实数根． 证法三：由已知， ，∴ 可以证明 和 不能同时为0（否则 ），而 ，因此 ． |
