线性代数 n阶矩阵A有n个互不相同的特征值时，对应于每个特征值必有一个特征向量吗

为什么设n阶矩阵A有n个互不相同的特征值，特征值均是单根，那么其对应线性无关特征向量只有一个？~

对应于不同特征值的特征向量是线性无关的，每个特征值至少有一个线性无关的特征向量，但如果有某个特征值有多于一个的线性无关的特征向量，则至少可以找到n+1个线性无关的特征向量，而n+1个n维向量一定线性相关，这是矛盾。

n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。

n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件A有n个线性无关的特征向量，而特征值不同特征向量一定不同，由n阶方阵A具有n个不同的特征值可以推出A与对角阵相似，所以n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。

但反之，则不一定成立。A与对角阵相似，特征值可能不同，也有可能出现相同的情况，只要满足A有n个线性无关的特征向量即可，所以n阶方阵A具有n个不同的特征值不是A与对角阵相似的必要条件。

扩展资料判断相似矩阵的必要条件
设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：
1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵；
2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|；
3、A的迹等于B的迹——trA=trB/ ，其中i=1,2,…n（即主对角线上元素的和）；
4、A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|；
5、A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。
因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。

1. 是的

对每个特征值a, |A-aE|=0, 故 (A-aE)x=0 有非零解, 而非零解就是A的属于特征值a的特征向量.

知识点: k重特征值至多有k个线性无关的特征向量

所以n个互不相同的特征值(都是单重特征值)恰有一个线性无关的特征向量

2. 知识点: A的属于不同特征值的特征向量线性无关

所以A的n个互不相同的特征值对应的n个特征向量 线性无关

注意:不是每个线性无关

而A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量 (定理)

所以这个A可相似对角化.

每一问都是正确的，完全正确！
你可以看线性代数中关于矩阵相似对角化的相关定理就能找到。

是的啊