【高考数学】3.5 内切圆的性质

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在高考数学中，内切圆的性质是解题的关键之一。让我们深入探讨两个经典例题，帮助你更好地掌握这一知识点。

题1：等边三角形内切圆半径的求解

面对等边三角形ABC，边长为2，想象它的内切圆半径r。首先，利用三角形面积公式 \( A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \)，计算得其面积 \( A = \frac{\sqrt{3}}{4} imes 2^2 = \sqrt{3} \)。三角形总周长 \( P = 3 imes 2 = 6 \)。利用内切圆半径与三角形面积和周长的关系 \( r = \frac{A}{s} \)，其中 \( s \) 是半周长，即 \( s = \frac{P}{2} = 3 \)。所以，\( r = \frac{\sqrt{3}}{3} \)，这就是等边三角形内切圆的半径。

题2：椭圆内切圆半径与点D坐标的关系

考虑椭圆 \( C \) 的方程，其左右焦点为 \( F_1 \) 和 \( F_2 \)，现在假设椭圆上一点D（在第一象限）的内切圆半径为 \( r \)。椭圆的周长 \( P \) 可以通过公式 \( P = 4aE \)，其中 \( E \) 是椭圆的离心率，对于标准椭圆 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，\( E = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} \)。对于D点，内切圆半径 \( r \) 与椭圆面积 \( A \) 有直接关系，即 \( A = \pi a^2 - \pi r^2 \)。

已知椭圆周长 \( P \) 可以计算得到 \( a \) 的值，然后结合内切圆半径 \( r \)，我们可以解出 \( b^2 = a^2 - r^2 \)。将 \( b^2 \) 代入椭圆方程，可以求得横坐标 \( x \) 的值。具体来说，\( x = \frac{a\sqrt{a^2 - r^2}}{a} = \sqrt{a^2 - r^2} \)。因此，当内切圆半径为已知条件时，点D的坐标 \( D(x, y) \) 就可以随之确定。

通过这两个实例，你将更好地理解和应用内切圆的性质，这对于解决相关高考数学问题至关重要。记住，扎实的基础和灵活的运用是解答这类问题的关键。