x/(1-x^2)展开为x的幂级数，求详细点的展开过程
f(x)=x/(1-x^2)
=x/(1-x)(1+x)
=(1/2)*[1/(1-x) - 1/(1+x)]
因为
1/(1-x)=∑(n=0,∞) x^n，x∈(-1,1)
1/(1+x)=∑(n=0,∞) (-x)^n，x∈(-1,1)
所以
f(x)=(1/2)*∑(n=0,∞) [1-(-1)^n] x^n，x∈(-1,1)
写得再清楚一点，就是：
f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1)，x∈(-1,1)
其实，如果细心一点观察，就可以发现：
x/(1-x^2)=lim(n→∞) x(1-0)/(1-x^2)
=lim(n→∞) x(1-(x^2)^n)/(1-x^2)
这正是首项为x，公比为x^2的等比级数的收敛函数~~~
因此，直接可推：f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1)，x∈(-1,1)
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套用一个结果：(1+x)^m＝1＋mx＋m(m-1)2/2!×x^2＋...，-1≤1x≤1（m是个正数）
把m换作1/2，x换作x^2，得到√(1+x^2)的幂级数展开式，再求导就是了
f(x)=x/(1-x^2)=x/(1-x)(1+x)=(1/2)*[1/(1-x) - 1/(1+x)]。
对于收敛域上的每一个数x，函数项级数（1）都是一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和。因此，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数，记作s（x）。
数项级数式（4）可能收敛，也可能发散。如果数项级数式（4）是收敛的，称为函数项级数（1）的收敛点；如果数项级数式（4）是发散的，称为函数项级数（1）的发散点。函数项级数式（1）的所有收敛点的集合称为其收敛域，所有发散点的集合称为其发散域。
1/(1-x)²=【1/（1-x）】’
=（∞∑n²·xⁿ）'
=∞∑n1·nx^n-1
其他类似题型参考
1、求x/(1-x^2)展开为x的幂级数
f(x)=x/(1-x^2)
=x/(1-x)(1+x)
=(1/2)*[1/(1-x)
-
1/(1+x)]
因为1/(1-x)=∑(n=0,∞)
x^n，x∈(-1,1)
1/(1+x)=∑(n=0,∞)
(-x)^n，x∈(-1,1)
所以
f(x)=(1/2)*∑(n=0,∞)
[1-(-1)^n]
x^n，x∈(-1,1)
写得再清楚一点，就是：
f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞)
x^(2n+1)，x∈(-1,1)
其实，如果细心一点观察，就可以发现：
x/(1-x^2)=lim(n→∞)
x(1-0)/(1-x^2)
=lim(n→∞)
x(1-(x^2)^n)/(1-x^2)
这正是首项为x，公比为x^2的等比级数的收敛函数~~~
因此，直接可推：f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞)
x^(2n+1)，x∈(-1,1)
2、求x/(1+x^2)展开为x的幂级数
f(x)=x/(1+^2)
f(x)/x=1/(1+x^2)
同取积分：
∫(0,x)
f(t)/t
dt
=∫(0,x)
1/(1+t^2)
dt
=arctanx
=∑(n=0,∞)
(-1)^n
*
1/(2n+1)
*
x^(2n+1)
然后，同对x求导
f(x)/x=[∑(n=0,∞)
(-1)^n
*
1/(2n+1)
*
x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞)
[(-1)^n
*
1/(2n+1)
*
x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞)
(-1)^n
*
x^(2n)
因此，
f(x)=∑(n=0,∞)
(-1)^n
*
x^(2n+1)，x∈(-1,1)
f(x)=x/(1-x^2)
=x/(1-x)(1+x)
=(1/2)*[1/(1-x)
-
1/(1+x)]
因为
1/(1-x)=∑(n=0,∞)
x^n，x∈(-1,1)
1/(1+x)=∑(n=0,∞)
(-x)^n，x∈(-1,1)
所以
f(x)=(1/2)*∑(n=0,∞)
[1-(-1)^n]
x^n，x∈(-1,1)
写得再清楚一点，就是：
f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞)
x^(2n+1)，x∈(-1,1)
其实，如果细心一点观察，就可以发现：
x/(1-x^2)=lim(n→∞)
x(1-0)/(1-x^2)
=lim(n→∞)
x(1-(x^2)^n)/(1-x^2)
这正是首项为x，公比为x^2的等比级数的收敛函数~~~
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