数学：三角形的内心、外心、重心、垂心的概念是啥?

三角形的内心、外心、重心、垂心分别是什么~

答：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（重心定理），这个交点叫做三角形的重心。
三角形的三边的垂直平分线交于一点。（外心定理）这个点叫做三角形的外心。
三角形的三条高交于一点。（垂心定理）这个点叫做三角形的垂心。
三角形的三内角平分线交于一点。（内心定理）这个点叫做三角形的内心。
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外交平分线交于一点。（旁心定理）三角形有三个旁心。
具体证明，参考下列网址：
http://www.maths168.com/Article/bjzs/200511/52.html

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。
外心指三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

三角形的内心定义
　　在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,
　　内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
　　内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
　　注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。
　　若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。
　　直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
　　双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
编辑本段
三角形内心的性质
　　设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
　　1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心．
　　2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
　　3、r=S/p．
　　4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
　　5、∠BIC=90°+A/2．
　　6、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．
　　7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
　　向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．
　　8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：
　　(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．
　　9、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
　　10、（内角平分线分三边长度关系）
　　△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
外心定义
　　三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．
编辑本段
三角形外心的性质
　　设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
　　1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
　　2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.
　　3、GA=GB=GC=R.
　　3、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A).
　　4、R=abc/4S⊿ABC.
　　5、点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
　　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.
　　6、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
　　向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
　　7、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
　　向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
　　8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
　　重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
　　9、外心到三顶点的距离相等。
重心三角形重心
　　重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明。证明过程又是塞瓦定理的特例。
　　已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
　　求证：F为AB中点。

　　证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BO

C，再应用从中点得
AF=BF，命题得证。
　　重心的几条性质及证明方法：
　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
　　证明方法：
　　在▲ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h 则，S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC)，S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以，S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB)
　　3、重心到三角形3个顶点距离的和最小。
　　证明方法：
　　设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
　　显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论
　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3
　　5、三角形内到三边距离之积最大的点。
　　重 心
　　三条中线定相交，交点位置真奇巧，
　　交点命名为“重心”，重心性质要明了，
　　重心分割中线段，数段之比听分晓；
　　长短之比二比一，灵活运用掌握好．
垂心定义
　　三角形三条边上的高交于一点，该点叫做三角形的垂心。
编辑本段
三角形垂心的性质
　　设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
　　1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
　　3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
　　4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
　　5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
　　6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
　　7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
　　8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
　　9、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
　　10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
　　11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
　　12、
　　西姆松(Simson)定理（西姆松线）
　　从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
希望对你有帮助

概念重心：三角形各边中线的交点
内心：三角形内切圆的的圆心即内角平分线的交点
外心：三角形外接圆的的圆心即各边中垂线的交点
垂心：三角形三条高的交点 谢谢采纳~~

内心：内切圆的圆心（三角平分线的交点）外心：外接圆的圆心（三边垂直平分线的交点）重心：三角形三条中线交点垂心：三角形三条高交点

重心、中心、外心、垂心怎么分?有什么特殊性质(需证明过程)?_百度知...
答：（2）外心到三顶点的距离相等；（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；（4）内心、旁心到三边距离相等；（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心；（6）外心是中点三角形的垂心；（7）中心也是中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。三角...

三角形的内心、外心、中心、重心、垂心,分别怎样判定,而且它们的性质各...
答：若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的 【外心】指三角形外接圆的圆心，一般叫三角形的外心。详细：指三...

三角形的几个心
答：2、内心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，也是三角形三个内切圆的圆心。内心将三角形分成三个面积相等的部分，且内心到每个边的距离等于该边到对面边的垂线段的长度。3、外心：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，也是三角形三个外接圆的圆心。外心将三角形分成三个面积相等的部分，...

中心,重心,垂心,外心,内心,各是什么?
答：中心,重心,垂心,外心,内心,各是什么如下：外心：三角形外接圆的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点.内心：三角形内接圆的圆心,是三角形的三个内角平分线的交点.中心：正多边形（如等边三角形）的外心、内心互相重复,也叫中心,是正多边形的旋转中心.重心：三角形三边中线的交点.垂心：三角形三条高的...

重心,中心,垂心,外心,内心分别是什么的交点,知道几个也可以写
答：重心：三角形的三条中线交点。外心：三角形的三边的垂直平分线交点。垂心：三角形的三条高交于一点。内心：三角形的三内角平分线交于一点。中心：没有具体概念，是以上四个心的重合一点以后的名称，只有正三角形才有

三角形的重心、垂心、内心和外心各是什么?
答：三角形的中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。三角形的重心：三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。重心分中线比为1：2。三角形的内心：三条角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称。到三边距离相等。三角形的...

三角形的外心、内心、垂心、重心分别指什么?
答：1、三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。2、三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。3、三角形三条高的交点叫垂心。4、三角形三条中线的交点叫重心。5、仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。三角形垂心定义 垂心是从...

谁说一下三角形的内心、外心、重心、垂心的定义以及性质,公式?
答：3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 4.OA=OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 6.S△ABC=abc/4R 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。三角形的内心的性质 1.三角形的三条角平分线交...

三角形有五颗心,重外垂内和旁心是什么?
答：点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然。内心：三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。三角形五心口诀:三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。数学公式的...

三角形重心、内心、外心、垂心的性质和定义
答：重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数；重心是三角形内到三条边距离之积最大的点；垂心 是三条高的交点，它可以构成许多相似直角三角形；旁心 是一个内角平分线和它不相邻的两个外角平分线的交 点，它与三条边的距离相等。正三角形的内心、外心、重心、垂心重合，该点叫中心。