选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线L的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为x=3cosay=sina
(1)由曲线C的参数方程为 x= 3 cosa y=sina ,得 x 3 =cosa① y=sina② ,① 2 +② 2 得, x 2 3 + y 2 =1 ;(2)设与直线L平行的直线为x-y+m=0,联立 x-y+m=0 x 2 3 + y 2 =1 ,得4x 2 +6mx+3m 2 -3=0,由△=36m 2 -16(3m 2 -3)=-12m 2 +48=0,得m=±2.所以当m=2时,即直线x-y+2=0与椭圆相切时,椭圆上的动点为切点时到直线x-y+4=0的距离最小,最小距离为d= |4-2| 2 = 2 .
(I)把极坐标系下的点(4, π 2 )化为直角坐标,得P(0,4).因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上.…(5分)(II)设点Q的坐标为( 3 cosα,sinα),则点Q到直线l的距离为d= | 3 cosα-sinα+4| 2 = 2 cos( α+ π 6 )+2 2 由此得,当 2 cos( α+ π 6 )=-1时,d取得最小值,且最小值为 2 .…(10分)
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