(2013?湖北)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点
解:(Ⅰ)直线l∥平面PAC,证明如下:连接EF,因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC,又EF?平面ABC,且AC?平面ABC,所以EF∥平面ABC.而EF?平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.因为l?平面PAC,EF?平面PAC,所以直线l∥平面PAC.(Ⅱ)(综合法)如图1,连接BD,由(Ⅰ)可知交线l即为直线BD,且l∥AC.因为AB是⊙O的直径,所以AC⊥BC,于是l⊥BC.已知PC⊥平面ABC,而l?平面ABC,所以PC⊥l.而PC∩BC=C,所以l⊥平面PBC.连接BE,BF,因为BF?平面PBC,所以l⊥BF.故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角,即∠CBF=β.由DQ=12CP,作DQ∥CP,且DQ=12CP.连接PQ,DF,因为F是CP的中点,CP=2PF,所以DQ=PF,从而四边形DQPF是平行四边形,PQ∥FD.连接CD,因为PC⊥平面ABC,所以CD是FD在平面ABC内的射影,故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角,即∠CDF=θ.又BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF=α,于是在Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF中,分别可得sinθ=CFDF,sinα=BFDF,sinβ=CFBF,从而sinαsinβ=CFBF?BFDF=CFDF=sinθ,即sinθ=sinαsinβ.(Ⅱ)(向量法)如图2,由DQ=12CP,作DQ∥CP,且DQ=12CP.连接PQ,EF,BE,BF,BD,由(Ⅰ)可知交线l即为直线BD.以点C为原点,向量CA,<div style="background-image: url(http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a2cc7cd98d1001e9cd3ea5bbbb0e7bec54e79700.jpg); background-attachment: initial; background-origin: initial; background-clip: initial; background-color: initial; height: 5px; float: left; overf
首先,VC垂直于平面园O对吧?那么连接CA应该有VC垂直CA,由于E,D分别为VC,VA中点,那么ED也垂直VC。连接BC,由于圆的性质可得CB垂直CA,同理,ED垂直CB。现在有了两个条件,ED垂直BC,ED垂直于VC,由于这两个条件,易证,ED垂直于VBC这个平面。所以为垂直关系。
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