拉格朗日中值定理证明 如果函数f(x)和g(x)在(a,b)内可导,且f'(x)=g'(x),则f(x)和g(x)相差一个常数

若两个函数fx与gx在区间(a.b)内满足f'x=g'x,则fx=gx+c怎么用拉格朗日中值定理推~

为什么限定拉格朗日中值定理？这个看起来不是很适合啊，拉格朗日中值定理是用于证明导数存在性的，不太可能用于函数恒等吧？

证明：（1）作辅助函数φ(x)＝f(x)?f(a)?f(b)?f(a)b?a(x?a)，易验证φ（x）满足：φ（a）=φ（b）=0；又因为：φ（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且φ′(x)＝f′(x)?f(b)?f(a)b?a．根据罗尔定理，可得在（a，b）内至少有一点ξ，使φ′（ξ）=0，即：f′（ξ）-f(b)?f(a)b?a=0因此：f′（ξ）=f(b)?f(a)b?a．ξ∈（a，b）即：f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）．ξ∈（a，b）命题得证．（2）任取x0∈（0，δ），则函数f（x）满足：在闭区间[0，x0]上连续，开区间（0，x0）内可导，根据拉格朗日中值定理可得：存在ξx0∈(0，x0)?(0，δ)，使得f′(ξ x0)＝f(x0)?f(0)x0?0 （*）又由于limx→0+f′(x)＝A，对上式（*式）两边取x0→0+时的极限可得：f+′(0)＝limx0→0+f(x0)?f(0)x0?0＝limx0→0+f′(ξx0)＝limξx0→0+f′(ξx0)＝A故f+′(0)存在，且f+′(0)＝A．

令h(t)=f(t)-g(t)，显然h(t)在[a0,x]上连续，在(a0,x)内可导，其中a<a0<x<b
则根据拉格朗日中值定理，存在k∈(a0,x)，使得：h'(k)=[h(x)-h(a0)]/(x-a0)
f'(k)-g'(k)=[f(x)-g(x)-f(a0)+g(a0)]/(x-a0)=0
f(x)-g(x)=f(a0)-g(a0)为一常数
由a0的任意性，可得：对任意x∈(a,b)，f(x)-g(x)=C，（C为常数）