数学问题解决的系统思维过程及教学策略:对促进学生思维的教学策略
关于思维过程，心理学家从不同的方面对解决问题的思维过程进行了研究，其中有代表性的理论有“解决问题四阶段论”、威尔・西蒙的信息处理系统理论、波利亚的解题四环节论以及美国心理学家华莱士根据许多创造发明家的自述经验进行研究，总结出四个过程等。综观思维过程的研究，可以看到研究的成果是丰富的，探究也十分深入。但是，从整体上看，思维过程的研究尚存缺陷：思维过程的划分过于机械化、程式化、不连贯。同时，学生数学问题解决中思维过程不同于数学家的过程，直觉思维与数学家不一样，是算法式思维的熟练阶段。二者直觉的结果是不同的，发明创造家的结果是人类未知的新知识，学生的直觉结果是再发明再创造。但二者的思维过程都是对于自身原有思维的飞跃，不自知的过程。而且直觉思维贯穿于思维过程每个部分，算法式思维过程的每个缝隙中都有直觉思维润滑，直觉思维是润滑剂，而不是经历了算法式思维才经历直觉思维。因此，学生数学问题解决的思维过程，应是系统思维过程。
一、数学问题解决的系统思维过程
数学问题解决的思维过程（以下简称系统思维）是在元认知监控下算法式思维过程和直觉式思维过程相互作用的一个系统过程。
算法式思维过程是指按准备、探索、明朗、建构四个步骤解决数学问题的思维过程。其中准备阶段包括清楚的意识到面临的问题、解决问题的动机、阅读数学问题；探索阶段包括用数学语言（代数语言或图形语言）表示条件或结论、化简（包括因式分解、通分、约分、分离常数、合并同类项、分子或分母有理化、逆用基本运算定理和运算公式等）、等价变化条件与结论、试误、逆向思考问题。明朗阶段包括模式识别、回忆联想、找出问题各条件和结论以及解题过程的中间步骤与条件（或结论）之间的内在逻辑联系与差距、找出缩小差距的策略、确定执行的策略、对采用策略的评价、决定一个标准选择适当的策略。建构阶段：验证结论，定向控制思维流程，加深巩固数学知识，改进数学方法，感受积极的情绪体验，增强数学学习兴趣。
上述四个步骤的每一阶段都有可能遭遇失败、产生新的问题。此时，元认知监控思维过程退回到原处或环境中仔细探索。这样的循环往复有可能要经历许多次，故由这四个基本阶段组成的问题解决过程是非线性的，动态循环的过程。[2]直觉思维是高度压缩的算法式思维过程。当学生算法式思维的探索和明朗阶段运行良好成为一种潜意识时，问题信息输入大脑后经过短暂的算法式思维（有时甚至是无意识的），瞬间得到结果，这就是学生的直觉思维过程。数学问题解决时首先经历算法式思维的准备阶段，接着元认知控制思维根据问题情境首先进行直觉思维，如能正确解决问题，元认知控制思维进入算法式思维的建构阶段，以验证结果的正确性、分析直觉思维的产生机制，并将产生机制作为程序性知识储存到认知结构，作为今后直觉思维产生的触发点。否则元认知控制思维转向算法式思维的探索、明朗阶段，最后进入建构阶段。
由此可见，良好有序的算法式思维是产生直觉思维的基础，而直觉思维又能简化算法式思维。学生数学问题解决的思维过程是系统思维。系统思维在数学问题解决中具有以下功能：
二、系统思维的功能
1.促进学生正确归因
很多问题解决主体不能对个人问题解决能力低下进行正确归因，无法采取有效措施，导致问题解决能力长期得不到提高。系统思维须在完整有序的认知结构基础上运用。如果认知结构有缺陷，系统思维就会受到阻碍而停顿。此时，思维主体就能正确归因。
例如，某生对刚学会的题目，过一两个小时候就不会做了。该生的课任老师认为这是因为理解能力差，不理解概念的内涵外延，因此，长期指导学生提高理解能力的训练；家长认为是因为该生禀赋不高，无法弥补。但是笔者向他讲解下题：“设变量x，y满足约束条件，则Z=3x-2y的最大值是什么？”时，学生能很好地理解此题的本质含义是：求所表示的区域中的点使一组平行线Z=3x-2y取得的最大和最小截距。然而，第二天测试此类型的题目，该生又不会了。笔者要求学生按系统思维做出声练习时发现：该生可以顺利完成准备阶段，但是明朗阶段的模式识别和回忆联想无法进行，完全想不起曾经做过此类题目。当笔者提示昨天讲过此类题目后，学生立刻可以顺利解决此题。通过运用系统思维解题，该生发现自己问题解决能力低的原因是记忆力不好。因此对该生的有效指导应该是训练记忆力。因此，系统思维在数学问题解决中可以起到正确归因的作用。
2.完善学生认知结构
系统思维的运行需要完善的知识结构支撑。如果知识欠缺，系统思维就会停顿，此时学生必须主动弥补知识欠缺，系统思维才能继续运行。因此，系统思维运行的过程也是学生自我完善和巩固知识结构的过程，同时这也是学生主动学习（或复习）的过程，其效果高于被动学习。成功的学习体验增强了学生数学学习的信心和兴趣，提高了学习积极性。因此，教师在教学中应重视培养学生的系统思维。而若要培养学生系统思维，教师首先应改革例题的教学方式，突出系统思维的作用。
三、培养系统思维的教学策略
学生直觉思维的基础思维是算法式思维，因此培养学生系统思维首先应培养算法式思维，以算法式思维激发直觉思维。
1.改变教师的例题讲解方式
讲解例题时，教师按照系统思维过程讲解，展示算法式思维的运行轨迹、直觉思维的触发，以及元认知的调控过程，让学生充分体会到系统思维的有效性和重要性。
例1设函数f（x）=.如果对任意x∈R，都有f（x）≥2，求a的取值范围。
教师讲解此题：此题是证明不等式成立的问题，并且函数含有两个绝对值。按照处理含有绝对值代数式的常用方法，将f（x）=≥2用零点分段法转换表述方式。
继续观察条件，由“对任意x∈R，都有f（x）≥2”，知此题是第三类不等式恒成立问题。常用解题方法是求函数f（x）的最小值g（a），然后解不等式g（a）≥2。分析中间状态“分段函数f（x）”与“求函数f（x）的最小值g（a）”的关系，知此类题的常用方法是图像法，即画出分段函数f（x）=的图像，从图像上求最小值。从上面的分析过程可知：分析中间状态与中间状态（条件、结论）的关系是解此题的关键；如果算法式思维达到自动化，可以立即知道此题是求分段函数的最值，解题方法是图像法，这就是学生的直觉思维。到此，教师才分析完此题。从教师分析例题的过程，学生感受到运用系统思维解决问题，思路具有明确的方向性；当思维受阻停顿后，知道该想什么；知道思维经历过哪些步骤，少了哪些步骤，哪些步骤是残缺的，以便及时弥补。从而使学生感受到了系统思维的有效性，激发了学生学习系统思维的欲望。
2.培养学生元认知监控能力
当学生具有学习系统思维的心理倾向后，采用提问法（前期采用教师提问，学生回答的方式，后期采用学生自问的方法）培养学生的元认知监控能力。这些问题是：可以用数学符号（图形）语言表示这个题目吗？是否能用到下面的化简技巧：等价代换、合并同类项、因式分解、通分、分母有理化、配方、提取公因式、交叉相乘、分离常数等。面对的是什么类型的题？条件与结论、条件与条件之间、中间状态与条件和结论的内在联系是什么？这个题和典型题的联系与区别？有什么方法可以消除这个差别?消除差别的方法是否简单？有没有更简单的？这个题是否是一个新的典型题？解题方法是否具有典型性？对其他题解决是否有帮助？学生具有了良好的元认知监控能力，就可以根据问题自主控制算法式思维的运行，正确选择所需的算法式的思维的关键步骤，忽略不需要的步骤，最终形成直觉思维。
笔者四年的教学实践证明，通过实施系统思维教学策略提高了学生数学成绩、数学直觉思维、元认知能力，增强了学生数学学习兴趣。从而证明了系统思维教学策略在理论上的合理性、实践上的有效性和可行性。
（参考文献本刊略）（责任编辑任洪钺）
如何培养数学思维方式
答：对学生总结出的解题方法,教师要给予肯定,并引导学生在解决生活实际问题时有所运用。不拘泥于书本,学生思维的多向性就能得到训练。 引导学生反思,让学生体验自己思维的全过程。反思是学生数学学习活动的重要内容之一,在数学学习过程中,要有意识地引导学生自觉地反思自己的思维活动。反思的内容有:解决问题的关键在哪里?
浅谈发展数学思维的学习方法
答：数形结合的教学方式能够将理论知识与具体实际有效结合，将抽象的内容具体化、形象化，通过空间形式与数量关系的相互转化，研究和分析出理论知识的本质，最终完成解决问题的任务，这也能深化思维。因此，小学数学教师在教学过程中，应该尽可能借助图形分析问题和解决问题。再者就是用数量关系转化图形，用已经掌握...
计算思维是指
答：1、计算机科学：计算机科学是应用计算思维最广泛的领域之一。计算机科学家使用计算思维来解决计算机系统中的问题，例如算法设计、数据结构、操作系统、网络通信等。计算思维在计算机科学中扮演着至关重要的角色，为各种复杂问题的解决提供了有效的方法和工具。2、数学：数学是研究数量、结构、变化及空间等概念的...
小学数学中常见的数学思想方法有哪些
答：我们必须记住教师的知识点,正确理解各种公式的推理过程,并试着记住而不是采用"不确定的书籍阅读".勤于思考,对于一些问题试着用大脑去思考,认真分析问题,尝试自己解决问题.二、多做习题,养成解决问题的好习惯.如果你想学好数学,你需要提出更多问题,熟悉各种问题的解决问题的想法.首先,我们先从课本的题目为...
谁给我讲讲什么是数学思维?
答：属于人脑的基本活动形式。数学思维也就是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。比如转化与划归，从一般到特殊、特殊到一般，函数/映射的思想。数学思维教学，是数学教师在数学教学活动过程中，引导学生根据数学素材进行具体化的数学构思，进行数学运算，形成数学感知。
计算思维的方法
答：二、优点内容 计算思维吸取了问题解决所采用的一般数学思维方法，现实世界中巨大复杂系统的设计与评估的一般工程思维方法，以及复杂性、智能、心理、人类行为的理解等的一般科学思维方法。1、优点 计算思维建立在计算过程的能力和限制之上，由人由机器执行。计算方法和模型使我们敢于去处理那些原本无法由个人...
数学思维很重要,数学思维课程讲的是什么?
答：在数学解决问题的思维中，可用已知的数学模式规律或方法去检验类似情境的新问题的解决过程的正确性。正是数学思维的批判性使我们对未知的大胆探索，解决更多的未知的问题，推动好了社会的的不断向前发展。五、数学思维的概括性 数学是一个很庞大的系统，只有对解决具体数学问题的过程的概括和提炼，才能学好...
如何在解题探索过程中渗透数学思
答：在数学问题解决的过程中，既运用抽象、归纳、类比、演绎等逻辑思维形式，又运用直觉、灵感 ( 顿悟 ) 等非逻辑思维形式来探索问题的解决办法。在学数学、用数学的过程中引导学生学习知识、掌握方法、形成思想，促进思维能力的发展。建议 4 在复习与小结中提炼、概括数学思想方法 小结与复习是数学教学的一个...
运用计算思维理念去进行问题求解的基本框架主要包括
答：计算思维是运用计算机科学的基础概念进行问题求解、系统设计、以及人类行为理解等涵盖计算机科学之广度的一系列思维活动，由周以真于2006年3月首次提出。2010年，周以真教授又指出计算思维是与形式化问题及其解决方案相关的思维过程，其解决问题的表示形式应该能有效地被信息处理代理执行。计算思维吸取了问题解决所...
数学思维包括哪些方面?
答：数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般思维规律认识数学规律的思维过程.其表现是学生从原有的认知结构出发,通过观察、类比、联想、猜想等一系列数学思维活动,立体式地展示问题、提出过程,在温故知新的联想过程中产生强烈的求知欲,尽可能地参与概念的形成和结论的发展过程,并掌握观察、实验、归纳、演绎、...
