z1 z2是不为零的复数，在复平面上分别对应点P和Q，且4Z1^2-2Z1Z2+Z2^2=0，证明△OPQ为直角三角形
作者&投稿：隆堵 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
已知非零复数z1,z2，满足|z1+z2|=|z1-z2|,求证：（z1/z2)^2一定是负数~
可得(Z1 - Z2)^2 = - 3Z1^2
所以|Z1 - Z2| = sqrt(3)|Z1|
也可得(Z2/Z1)^2 - 2Z2/Z1 + 4 = 0
解出Z2/Z1 = 1±sqrt(3)i
所以|Z2/Z1| = 2，即|Z2| = 2|Z1|
综上，有|Z1|^2 + |Z1 - Z2|^2 = |Z2|^2，也就是OP^2 + PQ^2 = OQ^2
所以△OPQ是直角三角形，P是直角
复数相除，就是模相除，辐角相减
Z1/Z2的模|Z1/Z2|是OP与OQ的长度比
Z1/Z2的辐角是OP与x轴成的角减去OQ与x轴成的角，即角POQ
前面算出Z2/Z1 = 1±sqrt(3)i，用模与辐角的形式表达就是你贴的图
所以OP与OQ夹角为60度
因为共轭没法打，给你打在图片上了
证明△ABC为直角三角形？还是证明△OPQ为直角三角形？
思路如下：
设Z1=（a,bj),Z2=(c,dj) 代入等式中化简得到a,b,c,d之间的关系,如果满足ac+bd=0（向量垂直判定）,得证
两锐角分别为： arctan(b/a) arctan(d/c)
这道题的题目有点问题啊！
少了些条件。
可得(Z1 - Z2)^2 = - 3Z1^2
所以|Z1 - Z2| = sqrt(3)|Z1|
也可得(Z2/Z1)^2 - 2Z2/Z1 + 4 = 0
解出Z2/Z1 = 1±sqrt(3)i
所以|Z2/Z1| = 2，即|Z2| = 2|Z1|
综上，有|Z1|^2 + |Z1 - Z2|^2 = |Z2|^2，也就是OP^2 + PQ^2 = OQ^2
所以△OPQ是直角三角形，P是直角
复数相除，就是模相除，辐角相减
Z1/Z2的模|Z1/Z2|是OP与OQ的长度比
Z1/Z2的辐角是OP与x轴成的角减去OQ与x轴成的角，即角POQ
前面算出Z2/Z1 = 1±sqrt(3)i，用模与辐角的形式表达就是你贴的图
所以OP与OQ夹角为60度
