如图 AB是圆O的直径,C为圆上的一点,CD⊥AB,点E为弧BC上一点,弧AC=弧CE,求证AE=2CD

如图,AB为圆O的直径,点E在圆O上,C为弧BE的中点,过点C作直线CD⊥AE于D,连接AC,BC(~

∵AB是直径,
∴∠AEB=90°（直径所对的圆周角等于90°）
即BE⊥AE,
∵C是弧EB中点,
∴OC⊥BE（垂径定理的逆定理）
∴OC∥AD（垂直于同一直线的两直线平行）

（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵∠B=∠AED=∠CAD，∠C=∠C，∴∠C+∠CAD=∠C+∠B=90°．∴∠BAC=∠ADC=90°．即AB⊥AC于点A．又∵AB是⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠BAC=∠ADB=90°，∴∠ACD=∠BCA，∴△ADC∽△BAC．∴ACBC＝CDAC．即AC2=BC×CD=36．解得 AC=6．∵点E是BD的中点，∴∠DAE=∠BAE．∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，∴CA=CF=6，∴DF=CA-CD=2．

（1）两弧相等，对应圆周角相等，故BC平分角ABE；
延长CD交圆于H，连接BH，显然AB平分角CBH，
角CBH=ABE，对应弧、弦长相等，
故AE=CH=2CD.
（2）角ACB是直角，故只需证明F是AG中点。
利用等腰三角形知识可知：角ACF=CAF
进而可推知AF=FC=FG，即F是AG中点。

证毕。
注：叙述有点跳跃性，但如你能跟上，这种跳跃性也会对你有启发、帮助的。